Interpretare i quattro risultati
La tabella seguente mostra ciascun risultato per l'esempio P(A) = 50%, P(B) = 30%, nell'ipotesi di indipendenza.
| Esito | Formula | Valore di esempio |
|---|---|---|
| Sia A sia B | P(A) x P(B) | 0,5 x 0,3 = 15% |
| Almeno uno (A o B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0,5 + 0,3 - 0,15 = 65% |
| A non si verifica | 1 - P(A) | 1 - 0,5 = 50% |
| Nessuno dei due | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0,5 x 0,7 = 35% |
- Tutti i risultati presuppongono che A e B siano indipendenti. Se gli eventi si influenzano a vicenda (eventi dipendenti), queste formule non valgono e occorrono le probabilità condizionate.
- «Almeno uno si verifica» e «nessuno si verifica» sono complementari: le loro probabilità sommano sempre al 100%.
- Le probabilità descrivono frequenze nel lungo periodo su molte ripetizioni: una possibilità del 15% non significa che l'evento si verifichi esattamente in 15 delle prossime 100 prove.
Che cos'è la probabilità di eventi combinati?
Una probabilità è un numero compreso fra 0 e 1 (ovvero fra 0% e 100%) che esprime quanto un evento sia verosimile: 0 significa impossibile, 1 significa certo. Quando si considerano due eventi insieme, le regole standard della probabilità stabiliscono come le probabilità individuali si combinino in quella di esiti congiunti, come «si verificano entrambi» oppure «se ne verifica almeno uno».
Questo calcolatore assume che i due eventi siano indipendenti: sapere che uno si è verificato non dice nulla sul verificarsi dell'altro. Lanci di moneta, lanci di dado separati ed estrazioni casuali fra loro scorrelate sono esempi classici di indipendenza. Sotto tale ipotesi la probabilità che entrambi gli eventi si verifichino è semplicemente il prodotto delle probabilità individuali: P(A e B) = P(A) x P(B).
L'ipotesi di indipendenza è essenziale e va verificata sulla situazione reale, non data per scontata. Estrarre due carte dallo stesso mazzo senza reimmissione, oppure due fenomeni meteorologici nella stessa giornata, sono casi dipendenti — il primo esito modifica le probabilità del secondo — e la regola del prodotto finisce per sottostimare o sovrastimare la vera probabilità congiunta. Per eventi dipendenti servono le probabilità condizionate: P(A e B) = P(A) x P(B dato A).
Come usare questo calcolatore di probabilità
- Inserisci la probabilità dell'evento A come percentuale fra 0 e 100, per esempio 50 per una moneta equa che dà testa.
- Inserisci la probabilità dell'evento B in percentuale, per esempio 30.
- Verifica che i due eventi siano davvero indipendenti: il verificarsi dell'uno non deve modificare le probabilità dell'altro. Le formule qui usate valgono soltanto sotto questa ipotesi.
- Leggi le quattro probabilità combinate: entrambi si verificano, se ne verifica almeno uno, A non si verifica, nessuno dei due si verifica.
Le regole di probabilità per eventi indipendenti
Regola del prodotto (entrambi si verificano): per eventi indipendenti, P(A e B) = P(A) x P(B). Regola del complementare: P(non A) = 1 - P(A). Nessuno dei due: P(nessuno) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)), che applica la regola del prodotto ai due complementari. Almeno uno (inclusione-esclusione): P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A e B).
Esempio svolto con P(A) = 50% e P(B) = 30%, scritte come 0,5 e 0,3. Entrambi: 0,5 x 0,3 = 0,15 = 15%. Almeno uno: 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65 = 65%. Non A: 1 - 0,5 = 0,5 = 50%. Nessuno: 0,5 x 0,7 = 0,35 = 35%. Come verifica di coerenza, «almeno uno» e «nessuno» sono complementari: 65% + 35% = 100%.
La sottrazione di P(A e B) nella formula di «almeno uno» evita il doppio conteggio: gli esiti in cui entrambi gli eventi si verificano verrebbero altrimenti contati una volta in P(A) e una seconda volta in P(B).
Errori comuni
- Sommare le probabilità per «A o B» senza sottrarre la sovrapposizione: P(A) + P(B) da solo conta due volte gli esiti in cui entrambi si verificano e può persino superare il 100%.
- Moltiplicare le probabilità di eventi dipendenti come se fossero indipendenti: estrarre carte senza reimmissione è il controesempio classico.
- La fallacia del giocatore d'azzardo, cioè trattare prove indipendenti come se gli esiti passati modificassero le probabilità future: una moneta equa uscita testa cinque volte ha ancora il 50% di probabilità di dare testa al lancio successivo.
- Confondere «si verificano entrambi» con «se ne verifica almeno uno»: per P(A) = 50% e P(B) = 30% valgono rispettivamente 15% e 65%, quantità molto diverse.
Domande frequenti
Che cosa significa che due eventi sono indipendenti?
Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi dell'uno non modifica la probabilità dell'altro; formalmente, P(A e B) = P(A) x P(B). Lanci di moneta distinti e lanci di dado scorrelati sono indipendenti; estrarre due carte dallo stesso mazzo senza reimmissione non lo è, poiché la prima estrazione cambia la composizione del mazzo.
Come si calcola la probabilità che entrambi gli eventi si verifichino?
Per eventi indipendenti si moltiplicano le probabilità individuali: P(A e B) = P(A) x P(B). Per esempio, con P(A) = 50% e P(B) = 30% la probabilità che entrambi si verifichino è 0,5 x 0,3 = 0,15, ossia il 15%. Questa regola del prodotto vale soltanto se gli eventi sono indipendenti.
Come si calcola la probabilità che si verifichi almeno un evento?
Si usa la regola di inclusione-esclusione: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A e B). Con eventi indipendenti al 50% e al 30% si ottiene 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65, ossia il 65%. In modo equivalente si può calcolare 1 meno la probabilità che non se ne verifichi nessuno: 1 - (0,5 x 0,7) = 0,65.
Perché non posso semplicemente sommare le due probabilità per «A o B»?
Perché gli esiti in cui entrambi gli eventi si verificano verrebbero contati due volte, una in P(A) e una in P(B). Sommando 50% e 30% si otterrebbe 80%, mentre la risposta corretta per eventi indipendenti è 65% una volta sottratta la sovrapposizione del 15%. La somma semplice vale soltanto per eventi mutuamente esclusivi, che per definizione non possono verificarsi entrambi.
E se i miei eventi non sono indipendenti?
In quel caso queste formule non si applicano. Per eventi dipendenti la probabilità congiunta ricorre a una probabilità condizionata: P(A e B) = P(A) x P(B dato A), dove P(B dato A) è la probabilità di B una volta noto che A si è verificato. Per esempio, la probabilità di estrarre due assi da un mazzo standard senza reimmissione è (4/52) x (3/51) e non (4/52) x (4/52).
Fonti
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.