Interpretare il tuo intervallo di confidenza
L'ampiezza dell'intervallo riflette la precisione della stima. La tabella seguente mostra come cambia l'intervallo dell'esempio (media 50, sd 8, n = 100) al variare del livello di confidenza.
| Livello di confidenza | Valore z | Margine di errore | Intervallo |
|---|---|---|---|
| 90% | 1,6449 | 1,316 | 48,684 - 51,316 |
| 95% | 1,96 | 1,568 | 48,432 - 51,568 |
| 99% | 2,5758 | 2,061 | 47,939 - 52,061 |
- Una confidenza più elevata produce un intervallo più ampio: la certezza si paga in precisione.
- Questo è un intervallo basato su z. Per campioni piccoli (n inferiore a circa 30) con deviazione standard stimata dai dati, la t di Student fornisce un intervallo più accurato e leggermente più ampio.
- L'intervallo presuppone che il campione sia casuale semplice e, per n piccoli, che i dati sottostanti siano approssimativamente normali. Un campionamento distorto invalida l'intervallo a prescindere dalla sua ampiezza.
- Quadruplicare la numerosità dimezza l'ampiezza dell'intervallo, poiché l'errore standard scala con 1 / √n.
Che cos'è un intervallo di confidenza?
Un intervallo di confidenza è un insieme di valori calcolato dai dati campionari e concepito per contenere il vero parametro della popolazione — qui la media — con un tasso di successo dichiarato nel lungo periodo. Un livello di confidenza del 95% significa che, ripetendo molte volte la stessa procedura di campionamento, circa il 95% degli intervalli così costruiti conterrebbe la media vera.
L'intervallo è centrato sulla media campionaria e si estende di un margine di errore in ciascuna direzione. Il margine di errore è il valore critico (z) moltiplicato per l'errore standard della media, mentre l'errore standard è la deviazione standard divisa per la radice quadrata della numerosità. Campioni più grandi riducono l'errore standard, e quindi l'intervallo, in proporzione alla radice quadrata di n: quadruplicare la numerosità dimezza l'ampiezza dell'intervallo.
La lettura corretta di un intervallo al 95% è un'affermazione sulla procedura e non su un singolo intervallo: non è rigorosamente corretto dire che vi sia una probabilità del 95% che la media vera cada dentro questo particolare intervallo, poiché la media vera è un valore fisso e ogni intervallo calcolato o la contiene o non la contiene. Il 95% si riferisce alla frequenza con cui il metodo ha successo su campioni ripetuti.
Come usare questo calcolatore di intervallo di confidenza
- Inserisci la media campionaria, ossia la media dei valori misurati.
- Inserisci la deviazione standard. Usa quella campionaria (forma con n - 1) calcolata dai tuoi dati, oppure il valore di popolazione se è noto.
- Inserisci la numerosità n (almeno 2) e scegli un livello di confidenza: 90%, 95% o 99%.
- Leggi l'intervallo, il margine di errore e l'errore standard. Per campioni piccoli (di norma n inferiore a 30) con deviazione standard della popolazione ignota, tieni presente che un intervallo basato sulla t è leggermente più ampio e più accurato.
La formula dell'intervallo di confidenza
L'intervallo basato su z per una media è: media campionaria più o meno z moltiplicato per (deviazione standard / √n). I valori critici z sono 1,6449 per il 90%, 1,96 per il 95% e 2,5758 per il 99%: sono i punti della normale standard che lasciano nelle due code la probabilità complessiva corrispondente.
Esempio svolto: media 50, deviazione standard 8, n = 100, confidenza al 95%. Passo 1 — errore standard: 8 / √100 = 8 / 10 = 0,8. Passo 2 — margine di errore: 1,96 x 0,8 = 1,568. Passo 3 — intervallo: 50 - 1,568 = 48,432 e 50 + 1,568 = 51,568, dunque l'intervallo di confidenza al 95% va da 48,432 a 51,568.
Questo calcolatore utilizza la distribuzione normale standard (z), appropriata quando la deviazione standard della popolazione è nota oppure il campione è ragionevolmente ampio. Quando il campione è piccolo (di norma n inferiore a 30) e la deviazione standard della popolazione viene stimata dal campione, la distribuzione t di Student con n - 1 gradi di libertà fornisce un intervallo leggermente più ampio e più accurato; la differenza si attenua al crescere di n.
Errori comuni
- Interpretare un intervallo al 95% come «il 95% dei dati ricade in questo intervallo»: l'intervallo descrive l'incertezza sulla media, non la dispersione delle singole osservazioni.
- Affermare che ci sia una probabilità del 95% che la media vera si trovi in questo specifico intervallo: il 95% descrive il tasso di successo della procedura nel lungo periodo, su campioni ripetuti.
- Usare l'intervallo z per un campione piccolo con deviazione standard stimata, caso in cui la scelta appropriata è la distribuzione t.
- Inserire l'errore standard al posto della deviazione standard: è il calcolatore stesso a dividere per √n.
Domande frequenti
Come si calcola un intervallo di confidenza al 95%?
Calcola l'errore standard (deviazione standard divisa per la radice quadrata della numerosità), moltiplicalo per 1,96 per ottenere il margine di errore, quindi somma e sottrai tale margine dalla media campionaria. Esempio: media 50, sd 8, n = 100 dà SE = 0,8, margine 1,568 e un intervallo da 48,432 a 51,568.
Che cosa significa davvero un livello di confidenza del 95%?
Descrive il comportamento del metodo nel lungo periodo: estraendo ripetutamente campioni della stessa numerosità e costruendo un intervallo da ciascuno, circa il 95% di quegli intervalli conterrebbe la vera media della popolazione. Un singolo intervallo, invece, o contiene la media vera o non la contiene: il 95% è una proprietà della procedura, non di un intervallo specifico.
Quando conviene usare la distribuzione t anziché la z?
Usa la t di Student quando il campione è piccolo (una regola pratica diffusa indica n inferiore a 30) e la deviazione standard della popolazione è ignota e stimata dal campione. La t ha code più pesanti e produce un intervallo leggermente più ampio, che tiene correttamente conto dell'incertezza aggiuntiva; con campioni più grandi gli intervalli basati su t e su z diventano praticamente identici.
Come posso restringere il mio intervallo di confidenza?
In tre modi: aumentando la numerosità (l'ampiezza si riduce in proporzione a 1 / √n, dunque quadruplicare n la dimezza), accettando un livello di confidenza più basso (un intervallo al 90% è più stretto di uno al 99%) oppure riducendo la variabilità di misura, così che la deviazione standard stessa risulti minore.
Qual è la differenza fra errore standard e deviazione standard?
La deviazione standard misura la dispersione delle singole osservazioni attorno alla media. L'errore standard misura invece l'incertezza della media campionaria stessa ed è pari alla deviazione standard divisa per √n. Al crescere del campione la deviazione standard si stabilizza vicino al valore di popolazione, mentre l'errore standard continua a ridursi verso zero.
Fonti
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Student (Gosset WS). The probable error of a mean. Biometrika 1908; 6(1): 1-25 (origin of the t-distribution).