Interpretare mediana, moda e campo di variazione
Ciascuna statistica descrive un aspetto diverso dei dati. La tabella seguente riassume che cosa ti dice ognuna.
| Statistica | Che cosa descrive | Sensibilità ai valori anomali |
|---|---|---|
| Mediana | Il centro dei dati ordinati; il 50% dei valori si trova a un livello pari o inferiore | Bassa: dipende solo dall'ordine dei valori |
| Moda | Il valore o i valori più frequenti; i picchi della distribuzione | Bassa: non risente dei valori estremi |
| Campo di variazione | Dispersione totale dal valore più piccolo al più grande | Alta: è determinato interamente dai due estremi |
- Quando la media è nettamente maggiore della mediana, i dati sono di norma asimmetrici a destra (una coda di valori elevati, come per i redditi); una media inferiore alla mediana suggerisce invece un'asimmetria a sinistra.
- Un insieme di dati può non avere alcuna moda (valori tutti distinti), averne una oppure averne diverse; questo calcolatore elenca tutti i valori a pari merito per frequenza massima.
- La mediana di un campione stima la mediana della popolazione e, come ogni statistica campionaria, è soggetta a variabilità campionaria.
Che cosa sono mediana, moda e campo di variazione?
La mediana è il valore che divide a metà un insieme di dati ordinati. Per individuarla, ordina i valori dal più piccolo al più grande: con un numero dispari di valori la mediana è l'unico valore centrale, mentre con un numero pari è la media aritmetica dei due valori centrali. Poiché dipende soltanto dall'ordine dei dati e non dall'entità dei valori estremi, la mediana è robusta rispetto ai valori anomali.
La moda è il valore (o i valori) che ricorre più frequentemente nei dati. Un insieme può avere una sola moda, più mode (per esempio dati bimodali con due picchi) oppure nessuna moda, quando ogni valore compare esattamente una volta. La moda è inoltre l'unica misura di tendenza centrale applicabile anche ai dati categoriali.
Il campo di variazione è la differenza fra il valore massimo e quello minimo. È la misura di dispersione più semplice, ma poiché utilizza soltanto le due osservazioni estreme risulta molto sensibile ai valori anomali; la deviazione standard o lo scarto interquartile descrivono la dispersione in modo più robusto.
Come usare questo calcolatore di mediana
- Inserisci i tuoi numeri separati da ;, per esempio: 7; 12; 3; 9; 21; 14. Il calcolatore li ordina al posto tuo.
- Leggi la mediana. Con un numero pari di valori corrisponde alla media dei due valori centrali dell'elenco ordinato.
- Leggi la moda, ossia il valore o i valori più frequenti. Compare un trattino quando nessun valore si ripete, il che significa che i dati non hanno moda.
- Leggi il campo di variazione, cioè il massimo meno il minimo: un'indicazione rapida di quanto i dati siano dispersi.
Come si calcolano mediana, moda e campo di variazione
Mediana: ordina gli n valori. Se n è dispari, la mediana è il valore in posizione (n + 1) / 2. Se n è pari, la mediana è la media dei valori nelle posizioni n/2 e n/2 + 1.
Esempio svolto: i valori 7, 12, 3, 9, 21, 14. Ordinati: 3, 7, 9, 12, 14, 21. I valori sono n = 6 (numero pari), dunque la mediana è la media del terzo e del quarto: (9 + 12) / 2 = 10,5. Nessun valore si ripete, perciò non esiste una moda. Il campo di variazione è 21 - 3 = 18.
Secondo esempio, con una moda: 2, 4, 4, 7, 9. Una volta ordinati, il valore centrale (il terzo) è 4, dunque la mediana è 4. Il valore 4 compare due volte mentre ogni altro valore compare una sola volta, perciò la moda è 4. Il campo di variazione è 9 - 2 = 7.
Errori comuni
- Dimenticare di ordinare i dati prima di individuare il valore centrale: la mediana è definita sull'elenco ordinato.
- Prendere uno dei due valori centrali anziché la loro media quando il conteggio è pari: per 3, 7, 9, 12, 14, 21 la mediana è 10,5 e non 9 oppure 12.
- Dare per scontato che ogni insieme di dati abbia una moda: quando nessun valore si ripete, la moda non esiste.
- Usare il campo di variazione come misura robusta della dispersione: dipende solo dai due valori più estremi e ignora tutto ciò che sta in mezzo.
Domande frequenti
Come si trova la mediana di un insieme di dati?
Ordina i valori dal più piccolo al più grande. Se il conteggio è dispari, la mediana è il valore centrale; se è pari, è la media dei due valori centrali. Per esempio, per 7, 12, 3, 9, 21, 14 l'elenco ordinato è 3, 7, 9, 12, 14, 21 e la mediana è (9 + 12) / 2 = 10,5.
Quando la mediana è preferibile alla media?
Quando i dati sono asimmetrici o contengono valori anomali. La mediana dipende soltanto dall'ordinamento dei valori, perciò una singola osservazione estrema la sposta appena, mentre la media può variare in modo sostanziale. È per questo motivo che redditi e prezzi delle case vengono di norma sintetizzati con la mediana.
Un insieme di dati può avere più di una moda?
Sì. Se due o più valori sono a pari merito per frequenza massima, l'insieme è multimodale e tutti quei valori sono mode. Per esempio, in 1, 2, 2, 5, 7, 7, 9 sia il 2 sia il 7 compaiono due volte, dunque i dati sono bimodali con mode 2 e 7. Se nessun valore si ripete, l'insieme non ha moda.
Che cosa indica il campo di variazione?
Il campo di variazione è il massimo meno il minimo, ossia l'ampiezza complessiva dei dati. È rapido da calcolare e facile da interpretare, ma utilizza soltanto i due valori più estremi, perciò un solo valore anomalo può gonfiarlo enormemente. Per un quadro più completo della dispersione conviene usare la deviazione standard o lo scarto interquartile.
La mediana è sempre un valore effettivamente osservato?
Non sempre. Con un numero dispari di valori la mediana è uno dei valori osservati. Con un numero pari è invece la media dei due valori centrali, che può non comparire fra i dati: la mediana 10,5 dell'elenco 3, 7, 9, 12, 14, 21, per esempio, non è nessuna delle sei osservazioni.
Fonti
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.