Come interpretare il risultato della distribuzione normale
La tabella seguente elenca la probabilità cumulata della normale standard Φ(z) in corrispondenza di z-score interi, coerentemente con le tavole standard della distribuzione normale.
| Z-score | Φ(z) — probabilità cumulata sotto z |
|---|---|
| −3 | 0,13% |
| −2 | 2,28% |
| −1 | 15,87% |
| 0 | 50,00% |
| +1 | 84,13% |
| +2 | 97,72% |
| +3 | 99,87% |
- Regola empirica: circa il 68,27% di una distribuzione normale si trova entro ±1 deviazione standard dalla media, circa il 95,45% entro ±2 deviazioni standard e circa il 99,73% entro ±3 deviazioni standard.
- Nella modalità « tra due valori » il limite superiore b deve essere maggiore o uguale a x; se b è minore di x il calcolatore non restituisce alcun risultato.
- Poiché la distribuzione normale è continua, la probabilità di un singolo valore esatto è 0: soltanto gli intervalli (sotto, sopra, tra) hanno probabilità diversa da zero.
- Questi calcoli presuppongono che la variabile sia davvero distribuita normalmente. Dati asimmetrici, limitati o con code pesanti possono discostarsi sensibilmente da queste probabilità, anche se uno z-score resta comunque calcolabile.
Che cos'è la distribuzione normale?
La distribuzione normale (o gaussiana) è una distribuzione di probabilità continua, simmetrica e a campana, descritta interamente da due parametri: la media (μ), che ne fissa il centro, e la deviazione standard (σ), che ne fissa la dispersione. Molte grandezze naturali e misurate — statura, errori di misura, punteggi di test standardizzati — sono approssimativamente normali, ed è per questo che la distribuzione è centrale nella teoria e nella pratica statistica.
Poiché una distribuzione continua assegna probabilità a intervalli e non a singoli punti, questo calcolatore risponde a domande del tipo « quale proporzione di valori cade sotto x », « sopra x » o « tra x e b », mai « qual è la probabilità di esattamente x », che per una distribuzione continua è sempre 0.
Ogni distribuzione normale si può convertire nella normale standard (media 0, deviazione standard 1) calcolando uno z-score, z = (x − μ) / σ. La probabilità associata a un intervallo di valori di x si legge poi sulla funzione di ripartizione della normale standard (CDF), spesso indicata con Φ(z), che fornisce la proporzione della distribuzione che si trova a z o al di sotto.
La regola empirica (detta anche regola 68-95-99,7) riassume la dispersione della normale standard: circa il 68,27% dei valori cade entro 1 deviazione standard dalla media, circa il 95,45% entro 2 deviazioni standard e circa il 99,73% entro 3 deviazioni standard.
Come usare questo calcolatore della distribuzione normale
- Inserisci la media (μ) e la deviazione standard (σ) della distribuzione. La deviazione standard deve essere maggiore di zero.
- Scegli una modalità di calcolo: sotto un valore, sopra un valore o tra due valori.
- Inserisci il valore x. Nella modalità « tra due valori » inserisci anche il limite superiore b, che deve essere maggiore o uguale a x.
- Leggi la probabilità (in percentuale e come proporzione tra 0 e 1), insieme allo z-score corrispondente a x.
La formula dietro la probabilità nella distribuzione normale
Ogni calcolo parte dalla standardizzazione di x in uno z-score: z = (x − μ) / σ. La probabilità si legge poi sulla funzione di ripartizione della normale standard, Φ(z), che non ha una semplice espressione in forma chiusa e viene valutata numericamente.
Modalità « sotto »: P(X < x) = Φ(z). Modalità « sopra »: P(X > x) = 1 − Φ(z). Modalità « tra »: P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ), dove zᵦ è lo z-score del limite superiore b.
Esempio pratico (modalità « sotto »): media = 100, deviazione standard = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1,3333. Cercando Φ(1,3333) sulla normale standard si ottiene circa 0,9088, quindi P(X < 120) ≈ 90,88%.
Esempio pratico (modalità « tra », normale standard): media = 0, deviazione standard = 1, tra −1 e +1. z inferiore = −1, z superiore = +1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, quindi P(−1 < X < 1) ≈ 68,27%: il primo passo della regola empirica.
Errori comuni
- Selezionare la modalità sbagliata: « sotto », « sopra » e « tra » danno probabilità diverse per lo stesso x, e confonderle è una fonte di errore frequente.
- Inserire nella modalità « tra due valori » un limite superiore b minore di x, che non costituisce un intervallo valido per questo calcolatore.
- Considerare significativa la probabilità di un singolo valore esatto: per una distribuzione continua come la normale, P(X = x) è sempre 0.
- Dare per scontato che un insieme di dati sia normale senza verificarlo: le probabilità qui restituite sono accurate solo se la variabile sottostante è approssimativamente normale.
- Confondere deviazione standard e varianza: questo calcolatore chiede la deviazione standard (σ), non il suo quadrato.
Domande frequenti
Come si calcola una probabilità della distribuzione normale?
Converti il valore in uno z-score con z = (x − media) / deviazione standard, poi cerca la probabilità cumulata corrispondente sulla normale standard. Per un valore inferiore a x usa direttamente Φ(z); per un valore superiore a x usa 1 − Φ(z); per un intervallo tra x e b sottrai le due probabilità cumulate.
Che cos'è la regola empirica?
La regola empirica (regola 68-95-99,7) afferma che in una distribuzione normale circa il 68,27% dei valori cade entro 1 deviazione standard dalla media, circa il 95,45% entro 2 deviazioni standard e circa il 99,73% entro 3 deviazioni standard.
Che cos'è uno z-score?
Uno z-score esprime di quante deviazioni standard un valore si discosta dalla media e si calcola come z = (x − media) / deviazione standard. È il passaggio intermedio che questo calcolatore usa per cercare una probabilità sulla normale standard.
Perché la probabilità di un valore esatto è sempre 0?
La distribuzione normale è continua, quindi la probabilità è definita solo su intervalli e non su singoli punti. Chiedere P(X = 120) esattamente dà matematicamente 0; le domande sensate sono P(X < 120), P(X > 120) oppure P(a < X < b).
Questo calcolatore funziona con qualsiasi insieme di dati?
Solo se la variabile sottostante è approssimativamente distribuita in modo normale. Molte variabili reali lo sono, ma dati asimmetrici, limitati (come conteggi o proporzioni) o con code pesanti possono dare probabilità fuorvianti se forzati in questo schema.
Qual è la differenza tra la modalità « sotto » e la modalità « tra »?
La modalità « sotto » riporta la probabilità cumulata fino a un singolo valore x, cioè P(X < x). La modalità « tra » riporta la probabilità di cadere in un intervallo, P(x < X < b), che è la differenza tra due probabilità cumulate e richiede sia un valore inferiore x sia un limite superiore b.
Fonti
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).