Interpretare la dimensione campionaria richiesta
La tabella seguente riporta le dimensioni campionarie richieste (popolazione illimitata, p = 0,5) per i livelli di confidenza e i margini di errore più comuni, calcolate con la formula di Cochran.
| Livello di confidenza | Margine di errore 5% | Margine di errore 3% |
|---|---|---|
| 90% (z = 1,6449) | 271 | 752 |
| 95% (z = 1,96) | 385 | 1.068 |
| 99% (z = 2,5758) | 664 | 1.843 |
- Questi valori presuppongono un campionamento casuale semplice e la scelta conservativa p = 0,5. Se esiste una stima preliminare attendibile della proporzione, il campione necessario può essere più piccolo.
- Il calcolo riguarda soltanto l'errore di campionamento. La distorsione da mancata risposta, le domande formulate male e le liste di campionamento non rappresentative non si risolvono con un campione più grande.
- Dimezzare il margine di errore quadruplica all'incirca la dimensione campionaria richiesta, poiché e compare al quadrato nella formula.
- Per popolazioni molto piccole la correzione per popolazione finita può ridurre notevolmente il campione richiesto; al limite, il campione tende a coincidere con l'intera popolazione (un censimento).
Che cos'è il calcolo della dimensione del campione?
Il calcolo della dimensione del campione risponde a questa domanda: quante persone (o unità) occorre misurare affinché una statistica campionaria — tipicamente una proporzione, come la quota di clienti soddisfatti — stimi il valore della popolazione entro un margine di errore dichiarato e a un livello di confidenza dichiarato. Campionare più del necessario spreca risorse; campionare troppo poco produce stime troppo imprecise per essere utili.
Il margine di errore è la semiampiezza dell'intervallo di confidenza attorno alla stima: un margine del 5% significa che ci si attende che la vera proporzione della popolazione si collochi entro 5 punti percentuali dalla stima campionaria. Il livello di confidenza (comunemente 90%, 95% o 99%) descrive con quale frequenza intervalli costruiti in questo modo catturerebbero il valore vero in campionamenti ripetuti. Sia una confidenza più elevata sia un margine più stretto richiedono un campione più grande.
Questo calcolatore adotta la formula pubblicata in Sampling Techniques di William G. Cochran (3ª edizione, 1977) con p = 0,5, ossia il valore della proporzione di popolazione che massimizza la dimensione campionaria richiesta. Usare p = 0,5 è la scelta conservativa standard quando la proporzione vera è ignota: il campione che ne risulta è sufficiente qualunque essa sia. Quando la popolazione è finita e nota, la correzione per popolazione finita riduce il campione necessario, poiché campionare una frazione rilevante di una popolazione piccola fornisce più informazione per ciascun rispondente.
Come usare questo calcolatore della dimensione del campione
- Inserisci la dimensione della popolazione, cioè il numero totale di persone o unità oggetto di studio. Inserisci 0 se la popolazione è di fatto illimitata o sconosciuta.
- Scegli il livello di confidenza: 90%, 95% o 99%. La ricerca per sondaggi usa nella grande maggioranza dei casi il 95%.
- Inserisci il margine di errore in percentuale, di norma 5% oppure 3%. Margini più stretti richiedono campioni sensibilmente più grandi.
- Leggi la dimensione campionaria richiesta (con la correzione per popolazione finita applicata se hai indicato una popolazione) e il valore non corretto per popolazione illimitata. Prevedi un reclutamento aggiuntivo per compensare la mancata risposta attesa.
La formula di Cochran e la correzione per popolazione finita
La formula di Cochran per la stima di una proporzione è n0 = z^2 x p(1 - p) / e^2, dove z è il valore critico della normale standard corrispondente al livello di confidenza (1,6449 per il 90%, 1,96 per il 95%, 2,5758 per il 99%), p è la proporzione di popolazione ipotizzata ed e è il margine di errore in forma decimale. Con la scelta conservativa p = 0,5, il termine p(1 - p) assume il suo valore massimo, pari a 0,25.
Esempio svolto al 95% di confidenza con margine del 5%: n0 = (1,96^2 x 0,25) / 0,05^2 = (3,8416 x 0,25) / 0,0025 = 0,9604 / 0,0025 = 384,16, che arrotondato per eccesso dà 385 rispondenti per una popolazione illimitata.
Per una popolazione finita di dimensione N la correzione è n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N). Proseguendo l'esempio con N = 10.000: n = 384,16 / (1 + 383,16 / 10000) = 384,16 / 1,0383 = 369,98, che arrotondato per eccesso dà 370 rispondenti. Le dimensioni campionarie si arrotondano sempre per eccesso, poiché non si può intervistare una frazione di rispondente.
Errori comuni
- Confondere il margine di errore con il livello di confidenza: il margine (per esempio 5%) è la semiampiezza dell'intervallo, mentre il livello di confidenza (per esempio 95%) indica con quale frequenza tali intervalli catturano il valore vero.
- Credere che il campione richiesto cresca con la dimensione della popolazione: per popolazioni grandi il campione necessario cambia appena, ed è per questo che 385 rispondenti bastano al 95%/5% sia con una popolazione di 100.000 sia di 100 milioni.
- Trascurare la mancata risposta: la formula indica il numero di questionari completati necessari, perciò il reclutamento deve superarlo del tasso di mancata risposta atteso.
- Attendersi che un campione più grande corregga la distorsione: la numerosità controlla l'errore casuale di campionamento, non la distorsione sistematica di un campione non rappresentativo.
Domande frequenti
Quanti rispondenti servono per un livello di confidenza del 95% e un margine di errore del 5%?
Per una popolazione grande o illimitata, 385 rispondenti. La formula di Cochran dà n0 = (1,96^2 x 0,25) / 0,05^2 = 384,16, arrotondato per eccesso a 385. Se la popolazione è più piccola, per esempio 10.000, la correzione per popolazione finita riduce il valore a 370.
Che cos'è il margine di errore?
Il margine di errore è la semiampiezza dell'intervallo di confidenza attorno alla stima di un sondaggio. Un margine del 5% significa che ci si attende che il vero valore della popolazione si collochi entro 5 punti percentuali dalla stima campionaria, al livello di confidenza dichiarato. Margini più stretti richiedono campioni più grandi: dimezzare il margine quadruplica all'incirca la numerosità.
Perché il calcolatore assume p = 0,5?
La dimensione campionaria richiesta dipende dalla proporzione ignota p attraverso il termine p(1 - p), che è massimo quando p = 0,5. Adottare 0,5 è la convenzione conservativa standard di Cochran (1977): il campione risultante è sufficientemente ampio a prescindere da quale sia la proporzione vera. Se si dispone di una stima preliminare affidabile di p, può bastare un campione più piccolo.
Una popolazione più grande richiede un campione molto più grande?
No, ed è un equivoco assai diffuso. La dimensione campionaria non corretta non dipende affatto dalla numerosità della popolazione; la correzione per popolazione finita riduce il campione soltanto quando la popolazione è piccola rispetto al campione. Al 95% di confidenza con margine del 5%, circa 385 rispondenti bastano per qualunque popolazione grande, che si tratti di 100.000 o di 100 milioni di unità.
Che cos'è la correzione per popolazione finita?
Quando la popolazione N è finita, il campionamento senza reimmissione fornisce un poco più di informazione per ciascuna osservazione, perciò servono meno rispondenti. La correzione è n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N), dove n0 è la dimensione campionaria non corretta. Per N = 10.000 al 95%/5% riduce il fabbisogno da 385 a 370, mentre per N molto grandi la correzione è trascurabile.
Questo calcolo tiene conto della mancata risposta?
No. La formula indica il numero di questionari completati necessari. Se prevedi, per esempio, un tasso di risposta del 40%, dovrai invitare all'incirca n / 0,4 persone per arrivare a n questionari completati. Va inoltre ricordato che la mancata risposta può introdurre una distorsione che nessun aumento della numerosità corregge.
Fonti
- Cochran WG. Sampling Techniques, 3rd edition. Wiley, 1977 (sample size for estimating proportions; finite population correction).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.2.2: Sample sizes required. nist.gov.
- Kish L. Survey Sampling. Wiley, 1965 (design effects and practical survey sampling).