Interpretare il tuo punteggio Z
La tabella seguente riporta alcuni punteggi Z selezionati e i corrispondenti percentili della normale standard.
| Punteggio Z | Percentile (quota inferiore) | Interpretazione |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | Due deviazioni standard sotto la media; insolitamente basso |
| -1 | 15,87% | Una deviazione standard sotto la media |
| 0 | 50% | Esattamente sulla media (e sulla mediana, per una distribuzione normale) |
| +1 | 84,13% | Una deviazione standard sopra la media |
| +2 | 97,72% | Due deviazioni standard sopra la media; insolitamente alto |
| +3 | 99,87% | Tre deviazioni standard sopra la media; raro sotto ipotesi di normalità |
- I percentili presuppongono che la distribuzione sottostante sia approssimativamente normale. Per dati asimmetrici o con code pesanti la conversione da z a percentile è inaffidabile, anche se il punteggio Z resta ben definito.
- Secondo la regola empirica, circa il 68% di una distribuzione normale ricade fra z = -1 e +1, circa il 95% fra -2 e +2 e circa il 99,7% fra -3 e +3.
- Un punteggio Z non dice nulla su quanto un valore sia buono o cattivo: indica soltanto quanto disti dalla media della propria distribuzione.
Che cos'è un punteggio Z?
Il punteggio Z standardizza un valore esprimendone la distanza dalla media in unità di deviazione standard. Un punteggio Z pari a 0 indica che il valore coincide con la media; +1 indica una deviazione standard sopra la media; -2 indica due deviazioni standard sotto. La standardizzazione mette sullo stesso piano misure provenienti da scale diverse, ed è per questo che i punteggi Z servono a confrontare risultati di test, misure di crescita e valori di laboratorio ricavati da distribuzioni differenti.
Quando la distribuzione sottostante è normale (a campana), il punteggio Z si traduce direttamente in un percentile attraverso la funzione di ripartizione (CDF) della normale standard. La CDF restituisce la proporzione di distribuzione che si colloca al di sotto di un dato z: circa l'84,13% di una distribuzione normale sta sotto z = 1 e circa il 97,72% sotto z = 2. Questo calcolatore valuta la CDF normale standard con l'approssimazione di Abramowitz e Stegun (formula 7.1.26), accurata entro circa 7,5 x 10^-8.
L'interpretazione percentilica dipende dalla normalità. I punteggi Z si possono calcolare su qualunque insieme di dati, ma convertirli in percentili con la CDF normale è accurato soltanto quando la distribuzione è approssimativamente normale; per dati asimmetrici o con code pesanti i percentili dichiarati possono risultare fuorvianti.
Come usare questo calcolatore di punteggio Z
- Inserisci il valore (x) che vuoi standardizzare, per esempio il punteggio di un singolo test.
- Inserisci la media della distribuzione da cui il valore proviene.
- Inserisci la deviazione standard della distribuzione, che deve essere maggiore di zero.
- Leggi il punteggio Z, il percentile (quota della distribuzione inferiore al valore, nell'ipotesi di normalità) e la quota superiore.
La formula del punteggio Z
Il punteggio Z è il valore meno la media, diviso per la deviazione standard: z = (x - media) / sd. Uno z positivo indica un valore sopra la media, uno z negativo un valore al di sotto.
Esempio svolto: x = 130, media = 100, deviazione standard = 15 (la classica scala del QI). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Il valore si colloca esattamente due deviazioni standard sopra la media. Dalla CDF normale standard, la proporzione al di sotto di z = 2 è 0,9772, dunque il valore sta al 97,72° percentile e circa il 2,28% della distribuzione si trova al di sopra.
I percentili derivano dalla funzione di ripartizione della normale standard: percentile = CDF(z) x 100 e quota superiore = (1 - CDF(z)) x 100. La CDF non ha espressione in forma chiusa; questo calcolatore ricorre all'approssimazione 7.1.26 di Abramowitz e Stegun (1964).
Errori comuni
- Convertire i punteggi Z in percentili con dati palesemente non normali: la corrispondenza tramite CDF normale presuppone una distribuzione a campana.
- Sbagliare la direzione: un punteggio Z negativo significa che il valore è sotto la media, non che ci sia un errore o un risultato impossibile.
- Dividere per la varianza anziché per la deviazione standard: il denominatore della formula di z è la deviazione standard.
- Usare media e deviazione standard di un gruppo per standardizzare un valore proveniente da un gruppo diverso, il che produce un confronto privo di significato.
- Confondere il percentile con il punteggio percentuale: trovarsi al 97,7° percentile significa superare circa il 97,7% della distribuzione, non aver totalizzato il 97,7% nel test.
Domande frequenti
Come si calcola un punteggio Z?
Sottrai la media dal valore e dividi per la deviazione standard: z = (x - media) / sd. Per esempio, un punteggio di 130 su una scala con media 100 e deviazione standard 15 dà z = (130 - 100) / 15 = 2, il che significa che il punteggio si trova due deviazioni standard sopra la media.
A quale percentile corrisponde un punteggio Z pari a 2?
All'incirca al 97,72° percentile. La funzione di ripartizione della normale standard valutata in z = 2 vale 0,9772, dunque il 97,72% di una distribuzione normale si trova al di sotto di quel valore e il 2,28% al di sopra.
Che cos'è un buon punteggio Z?
I punteggi Z sono misure neutre e non voti: se un dato z sia desiderabile dipende interamente dal contesto. Uno z di +2 è eccellente per il punteggio di un test, ma allarmante per la pressione sanguigna. I valori oltre circa -2 o +2 sono convenzionalmente considerati insoliti, poiché meno del 5% di una distribuzione normale cade al di fuori di quell'intervallo.
Un punteggio Z può essere negativo?
Sì. Un punteggio Z negativo significa semplicemente che il valore si colloca sotto la media. Per esempio, z = -1,5 indica un valore una deviazione standard e mezzo sotto la media, all'incirca al 6,68° percentile di una distribuzione normale.
I punteggi Z richiedono una distribuzione normale?
Il punteggio Z in sé — la distanza dalla media in unità di deviazione standard — è definito per qualunque distribuzione. Convertirlo in percentile tramite la CDF normale standard, come fa questo calcolatore, è però accurato soltanto quando la distribuzione è approssimativamente normale. Per dati asimmetrici i percentili andrebbero calcolati direttamente dai dati.
Quanto è accurato il percentile mostrato?
La CDF normale standard non ha un'espressione esatta in forma chiusa, perciò questo calcolatore usa l'approssimazione razionale 7.1.26 di Abramowitz e Stegun (1964), il cui errore assoluto resta sotto 7,5 x 10^-8, ossia molto più preciso delle due cifre decimali mostrate.
Fonti
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).