Come interpretare il risultato del chi quadrato
La tabella seguente elenca i valori critici standard del chi quadrato al livello di significatività convenzionale α = 0,05 per i gradi di libertà più comuni. Una statistica χ² osservata superiore al valore indicato segnala uno scostamento statisticamente significativo dalla distribuzione attesa.
| Gradi di libertà (df) | χ² critico a α = 0,05 |
|---|---|
| 1 | 3,841 |
| 2 | 5,991 |
| 3 | 7,815 |
| 4 | 9,488 |
| 5 | 11,070 |
| 6 | 12,592 |
| 8 | 15,507 |
| 10 | 18,307 |
- Una regola pratica molto usata (presente nei manuali di statistica standard) è che l'approssimazione del chi quadrato sia affidabile quando ogni frequenza attesa vale almeno 5; con frequenze attese più piccole è più appropriato un test esatto.
- Questo calcolatore esegue solo il test di adattamento — una singola variabile categoriale rispetto a una distribuzione ipotizzata — e non il test del chi quadrato di indipendenza tra due variabili categoriali, che usa un calcolo diverso delle frequenze attese (per riga e colonna).
- Gli elenchi delle frequenze osservate e attese devono avere la stessa lunghezza, con almeno 2 categorie e ogni frequenza attesa strettamente positiva.
- Un risultato statisticamente significativo indica che le categorie si discostano dalle proporzioni ipotizzate; non indica di per sé quale categoria sia responsabile né quanto sia grande la differenza sul piano pratico.
Che cos'è un test del chi quadrato di adattamento?
Il test del chi quadrato di adattamento confronta le frequenze osservate in un insieme di categorie con quelle attese sotto una distribuzione ipotizzata e ne misura la divergenza. Questo calcolatore esegue soltanto la versione di adattamento — una singola variabile categoriale verificata rispetto a proporzioni attese — e non il correlato test del chi quadrato di indipendenza, che esamina l'associazione tra due variabili categoriali in una tabella di contingenza.
La statistica test somma, su tutte le categorie, la differenza al quadrato tra frequenza osservata e attesa, riscalata: differenze più ampie rispetto alle frequenze attese producono un valore di χ² maggiore e prove più forti contro la distribuzione ipotizzata.
Poiché χ² è sempre nullo o positivo, il test è intrinsecamente unidirezionale: solo valori di χ² insolitamente grandi (rispetto alla distribuzione chi quadrato con i gradi di libertà appropriati) vengono trattati come prova di un cattivo adattamento, poiché non esiste una direzione « negativa » da verificare.
Come usare questo calcolatore del test del chi quadrato
- Inserisci le frequenze osservate di ciascuna categoria come elenco separato da ;, per esempio 30; 25; 22; 23.
- Inserisci le frequenze attese per le stesse categorie, nello stesso ordine, come elenco separato da ;, per esempio 25; 25; 25; 25.
- Assicurati che i due elenchi abbiano la stessa lunghezza (almeno 2 categorie) e che ogni frequenza attesa sia maggiore di zero.
- Leggi la statistica χ², i gradi di libertà (numero di categorie meno 1) e il p-value, poi confronta il p-value con il livello di significatività scelto (di norma α = 0,05).
La formula dietro il test del chi quadrato di adattamento
La statistica chi quadrato è χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ, sommata su tutte le k categorie, dove Oᵢ è la frequenza osservata ed Eᵢ quella attesa nella categoria i. I gradi di libertà sono pari a k − 1, cioè uno in meno del numero di categorie.
Il p-value è la probabilità di osservare una statistica χ² grande almeno quanto quella calcolata, sotto la distribuzione chi quadrato con i gradi di libertà dati, se la distribuzione ipotizzata (attesa) fosse vera.
Esempio pratico: frequenze osservate 30, 25, 22, 23 rispetto a frequenze attese pari a 25 ciascuna. χ² = (30−25)²/25 + (25−25)²/25 + (22−25)²/25 + (23−25)²/25 = 1 + 0 + 0,36 + 0,16 = 1,52, con df = 4 − 1 = 3. Il valore è ben al di sotto del valore critico di 7,815 per α = 0,05 con 3 gradi di libertà, quindi il risultato non è statisticamente significativo.
Errori comuni
- Usare questo test di adattamento quando la vera domanda riguarda due variabili categoriali e la loro associazione: serve invece un test del chi quadrato di indipendenza con una tabella di contingenza delle frequenze attese, non un singolo confronto tra un elenco di osservate e uno di attese.
- Violare l'indicazione sulle frequenze attese: quando sono piccole (di norma sotto 5 in una o più categorie), l'approssimazione del chi quadrato diventa inaffidabile ed è più appropriato un test esatto.
- Inserire elenchi di osservate e attese di lunghezza diversa, oppure elencare le categorie in ordine diverso nei due elenchi, il che disallinea il confronto.
- Inserire una frequenza attesa pari a zero, il che rende indefinito il termine (O − E)² / E per quella categoria.
- Considerare un χ² statisticamente significativo come prova di una differenza grande o importante: la significatività indica che è improbabile che lo scostamento sia dovuto al caso, non che sia rilevante nella pratica.
Domande frequenti
A che cosa serve un test del chi quadrato di adattamento?
Verifica se le frequenze osservate in un insieme di categorie corrispondano alle frequenze attese di una distribuzione ipotizzata: per esempio se le frequenze di uscita di un dado corrispondano alla distribuzione uniforme attesa, oppure se le risposte a un sondaggio corrispondano a una proporzione presunta.
Come si calcola la statistica chi quadrato?
χ² = Σ (osservata − attesa)² / attesa, sommata su tutte le categorie. Discrepanze maggiori tra frequenze osservate e attese, soprattutto in rapporto alla frequenza attesa, producono un valore di χ² più grande.
Quali sono i gradi di libertà in un test di adattamento?
I gradi di libertà sono pari al numero di categorie meno 1 (df = k − 1). Con 4 categorie, come nell'esempio pratico di questa pagina, df = 3.
Perché le frequenze attese devono essere almeno 5?
La distribuzione della statistica test è ben approssimata dalla distribuzione chi quadrato solo quando le frequenze attese non sono troppo piccole. Una regola pratica spesso citata richiede che ogni frequenza attesa valga almeno 5; al di sotto, il p-value ricavato dall'approssimazione del chi quadrato può risultare inaccurato ed è preferibile un test esatto.
È lo stesso di un test del chi quadrato di indipendenza?
No. Questo calcolatore esegue il test di adattamento, che confronta le frequenze osservate di una variabile categoriale con una distribuzione ipotizzata. Il test di indipendenza verifica invece se due variabili categoriali siano associate, usando una tabella di contingenza in cui le frequenze attese si calcolano dai totali di riga e di colonna: un calcolo diverso.
Fonti
- Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5, 1900; 50(302): 157-175.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — chi-square goodness-of-fit test. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (chi-square goodness-of-fit test and expected-count guidelines).
- Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. Iowa State University Press (chi-square goodness-of-fit test).
- Agresti A. Categorical Data Analysis. Wiley (chi-square goodness-of-fit and independence tests).