La formula del punteggio Z: standardizzare un valore
Un punteggio Z, chiamato anche punteggio standard, converte un valore grezzo in una misura di quanto quel valore si trovi lontano dalla media della sua distribuzione, espressa in unità di deviazione standard anziché nelle unità originali. La formula è z = (x - media) / deviazione standard, dove x è il valore da standardizzare. Un punteggio Z di 0 significa che il valore è esattamente uguale alla media; un punteggio Z positivo significa che il valore è sopra la media; un punteggio Z negativo significa che il valore è sotto la media.
Standardizzare i valori in questo modo permette di confrontare misurazioni provenienti da scale o distribuzioni diverse -- per esempio, confrontare la prestazione di uno studente in due test diversi con medie e dispersioni diverse, oppure confrontare un singolo risultato di laboratorio con un intervallo di riferimento. Poiché il punteggio Z elimina sia le unità sia la scala originali, un punteggio Z di +1 significa sempre la stessa cosa relativa (una deviazione standard sopra la media di qualunque distribuzione da cui proviene), indipendentemente da cosa si stia misurando.
Cosa significa 'due deviazioni standard sopra la media'?
Dire che un valore è due deviazioni standard sopra la media è semplicemente un altro modo di dire che il suo punteggio Z è +2: il valore è più lontano dalla media rispetto a un'osservazione tipica, di una quantità pari a due volte la deviazione standard della distribuzione. Poiché la deviazione standard misura la dispersione tipica dei dati, un punteggio Z pari o superiore a 2 (o pari o inferiore a -2) è convenzionalmente considerato insolito, dato che relativamente poche osservazioni in una distribuzione approssimativamente normale si trovano così lontane dal centro.
Questa formulazione è puramente descrittiva della posizione all'interno di una distribuzione -- non dice di per sé se essere due deviazioni standard sopra la media sia positivo, negativo o neutro. Un punteggio Z di +2 su una distribuzione di punteggi di un test generalmente indica un risultato solido, mentre un punteggio Z di +2 su una distribuzione di pressione arteriosa generalmente indica un valore ben oltre la norma e meritevole di attenzione clinica. Il punteggio Z riporta la distanza dalla media; interpretare cosa significhi quella distanza dipende sempre da cosa si sta misurando.
La distribuzione normale standard e i percentili
Quando i dati sottostanti sono approssimativamente normali (a campana), un punteggio Z può essere convertito in un percentile usando la funzione di distribuzione cumulativa normale standard, che fornisce la proporzione della distribuzione che si trova sotto un dato punteggio Z. Questa conversione è ciò che permette di riformulare un punteggio Z come 'questo valore è più alto di circa X% della distribuzione'. La tabella seguente elenca i percentili standard, ben consolidati, per punteggi Z interi da -2 a +3.
| Punteggio Z | Percentile (quota di distribuzione sotto) | Quota sopra |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | 97,72% |
| -1 | 15,87% | 84,13% |
| 0 | 50,00% | 50,00% |
| +1 | 84,13% | 15,87% |
| +2 | 97,72% | 2,28% |
| +3 | 99,87% | 0,13% |
Esempio pratico: convertire un punteggio grezzo in un percentile
Si consideri un valore x = 130 tratto da una distribuzione con media 100 e deviazione standard 15 (la scala classica usata per i punteggi del QI). Passo 1: calcolare il punteggio Z, z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Passo 2: cercare z = 2 sulla distribuzione normale standard, che corrisponde al 97,72° percentile, il che significa che circa il 97,72% della distribuzione si trova a un valore pari o inferiore a 130, e circa il 2,28% si trova sopra.
Un secondo esempio sulla stessa scala: un valore x = 85 dà z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1, che corrisponde al 15,87° percentile -- il che significa che questo valore si colloca sotto circa l'84,13% della distribuzione e sopra circa il 15,87%. In entrambi i casi, l'intero calcolo si riduce a due passaggi: standardizzare il valore in un punteggio Z, poi leggere il percentile corrispondente sulla distribuzione normale standard.
La regola empirica 68-95-99,7
Per dati approssimativamente normali, la regola empirica (a volte chiamata regola 68-95-99,7) offre un modo rapido per giudicare quanto sia insolito un punteggio Z senza una ricerca completa del percentile: circa il 68% dei valori si trova entro una deviazione standard dalla media (z tra -1 e +1), circa il 95% entro due deviazioni standard (z tra -2 e +2), e circa il 99,7% entro tre deviazioni standard (z tra -3 e +3).
Questa regola discende direttamente dalla tabella dei percentili sopra riportata: la quota tra z = -1 e z = +1 è 84,13% - 15,87% = 68,26%, la quota tra z = -2 e z = +2 è 97,72% - 2,28% = 95,44%, e la quota tra z = -3 e z = +3 è 99,87% - 0,13% = 99,74% -- tutte coerenti con le approssimazioni comunemente citate del 68%, 95% e 99,7%. La regola si applica solo quando la distribuzione sottostante è approssimativamente normale; dati asimmetrici o con code pesanti possono discostarsi sostanzialmente da queste proporzioni, anche se i punteggi Z possono comunque essere calcolati per essi.
Domande frequenti
Come si calcola un punteggio Z?
Si sottrae la media dal valore, poi si divide per la deviazione standard: z = (x - media) / ds. Per esempio, un valore di 130 su una scala con media 100 e deviazione standard 15 dà z = (130 - 100) / 15 = 2, il che significa che il valore si trova due deviazioni standard sopra la media.
A quale percentile corrisponde un punteggio Z di 2?
Circa il 97,72° percentile. La distribuzione normale standard colloca circa il 97,72% dei valori a un livello pari o inferiore a un punteggio Z di 2, il che significa che un valore con quel punteggio Z è più alto di circa il 97,72% della distribuzione e più basso di circa il 2,28%, assumendo che i dati sottostanti siano approssimativamente normali.
Cosa significa trovarsi due deviazioni standard sopra la media?
Significa che il valore ha un punteggio Z di +2: è più lontano sopra la media rispetto a un'osservazione tipica, di una quantità pari a due volte la deviazione standard della distribuzione. Per dati approssimativamente normali, circa il 97,72% della distribuzione si trova a un livello pari o inferiore a questo valore, rendendolo un risultato relativamente raro -- anche se se questo sia auspicabile dipende interamente da cosa si sta misurando.
I punteggi Z richiedono che i dati siano distribuiti normalmente?
Il calcolo del punteggio Z in sé, z = (x - media) / ds, è definito per qualsiasi distribuzione e non richiede normalità. Tuttavia, convertire un punteggio Z in un percentile usando la distribuzione normale standard -- come negli esempi sopra -- è accurato solo quando i dati sottostanti sono approssimativamente normali (a campana); per dati asimmetrici o con code pesanti, i percentili andrebbero letti direttamente dai dati.
Cos'è la regola 68-95-99,7?
È un'espressione sintetica di quanto di una distribuzione approssimativamente normale rientri entro una, due e tre deviazioni standard dalla media: circa il 68% entro una deviazione standard (z tra -1 e +1), circa il 95% entro due (z tra -2 e +2), e circa il 99,7% entro tre (z tra -3 e +3). Offre un modo rapido per giudicare quanto sia insolito un valore senza fare una ricerca completa del percentile.
Fonti
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).