Quale media conviene usare?
Ogni media risponde a una domanda diversa. La tabella seguente riassume quando ciascuna è la sintesi appropriata.
| Media | Da usare quando i valori si combinano per | Applicazioni tipiche |
|---|---|---|
| Aritmetica | Addizione | Punteggi di test, altezze, temperature, medie generiche |
| Geometrica | Moltiplicazione | Tassi di crescita, rendimenti finanziari, rapporti, numeri indice |
| Armonica | Reciproci (tassi) | Velocità media su distanze uguali, rapporti prezzo/utili, resistenze in parallelo |
- La media geometrica e quella armonica sono definite soltanto per valori tutti positivi. Questo calcolatore le omette quando l'elenco contiene numeri nulli o negativi.
- Per qualunque insieme di dati positivi vale media aritmetica >= media geometrica >= media armonica, con uguaglianza soltanto quando tutti i valori coincidono (disuguaglianza AM-GM-HM).
- Mediare i tassi percentuali di crescita con la media aritmetica sovrastima la crescita cumulata: la media geometrica dei fattori di crescita restituisce invece il tasso costante equivalente corretto.
Che cosa sono le medie aritmetica, geometrica e armonica?
La media aritmetica è la somma dei valori divisa per il loro numero. È la media appropriata per grandezze che si combinano per addizione, come altezze, punteggi di un test o temperature, ed è ciò che la maggior parte delle persone intende con «la media».
La media geometrica è la radice n-esima del prodotto di n valori positivi. È la media appropriata per grandezze che si combinano per moltiplicazione, come tassi di crescita e rapporti: la media geometrica dei fattori di crescita annui restituisce il tasso costante che produrrebbe la stessa crescita complessiva. È definita solo per dati tutti positivi, poiché uno zero azzera il prodotto e i valori negativi possono rendere non reale la radice.
La media armonica è il numero di valori diviso per la somma dei loro reciproci. È la media appropriata per tassi con numeratore fisso, il cui caso classico è la velocità media su distanze uguali. Come la media geometrica, richiede che tutti i valori siano positivi. Per qualunque insieme di dati positivi le tre medie rispettano la disuguaglianza: aritmetica >= geometrica >= armonica, con uguaglianza soltanto quando tutti i valori sono identici.
Come usare questo calcolatore di medie
- Inserisci i tuoi numeri separati da ;, per esempio: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- Leggi la media aritmetica, che viene sempre mostrata.
- Se ogni valore è positivo, leggi anche la media geometrica e quella armonica; non essendo definite quando l'elenco contiene zeri o valori negativi, in quel caso vengono omesse.
- Scegli la media adatta al tuo problema: aritmetica per grandezze additive, geometrica per tassi di crescita e rapporti, armonica per tassi come le velocità su distanze uguali.
Le formule delle tre medie
Media aritmetica: somma gli n valori e dividi per n. Media geometrica: moltiplica gli n valori ed estrai la radice n-esima (in pratica calcolata come esponenziale della media dei logaritmi). Media armonica: dividi n per la somma dei reciproci.
Esempio svolto con i valori 1, 4, 16. Aritmetica: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Geometrica: il prodotto è 1 x 4 x 16 = 64 e la radice cubica di 64 è 4. Armonica: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, ossia circa 2,285714. Si noti che 7 >= 4 >= 2,285714, il che illustra la disuguaglianza fra media aritmetica, geometrica e armonica.
Esempio con le velocità per la media armonica: percorrere la stessa distanza a 30 km/h e poi a 60 km/h dà una velocità media di 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h e non la media aritmetica di 45 km/h, poiché si trascorre più tempo alla velocità inferiore.
Errori comuni
- Usare la media aritmetica per i tassi di crescita: un anno a +50% seguito da un anno a -50% dà una media aritmetica dello 0%, eppure l'investimento perde complessivamente il 25%; la media geometrica dei fattori 1,5 e 0,5 (circa 0,866) riflette la variazione media reale.
- Mediare con la media aritmetica le velocità su distanze uguali: tratte di pari lunghezza richiedono la media armonica.
- Applicare la media geometrica o armonica a dati contenenti zeri o valori negativi, dove non sono definite.
- Attendersi che le tre medie coincidano: ciò accade soltanto quando ogni valore dell'elenco è identico agli altri.
Domande frequenti
Qual è la differenza fra media aritmetica e media geometrica?
La media aritmetica somma i valori e divide per il loro numero; la media geometrica li moltiplica ed estrae la radice n-esima. La prima si adatta a grandezze che si combinano per addizione, la seconda a grandezze che si combinano per moltiplicazione, come i fattori di crescita. Per i valori 1, 4 e 16 la media aritmetica è 7, mentre quella geometrica è 4.
Quando si deve usare la media armonica?
Usa la media armonica per mediare tassi il cui numeratore è fisso: il caso classico è la velocità media su distanze uguali. Percorrere la stessa distanza a 30 km/h e a 60 km/h dà in media 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h e non 45 km/h, poiché si trascorre più tempo alla velocità minore. La media armonica compare anche nella media dei rapporti prezzo/utili e nella combinazione di resistenze elettriche in parallelo.
Perché a volte questo calcolatore mostra solo la media aritmetica?
La media geometrica e quella armonica sono definite soltanto quando ogni valore dell'elenco è positivo. Uno zero fa collassare a zero la media geometrica e rende indefinita quella armonica (divisione per zero), mentre i valori negativi possono rendere non reale la radice n-esima del prodotto. Quando l'elenco contiene zeri o valori negativi viene riportata solo la media aritmetica.
Perché la media geometrica è quella giusta per i rendimenti finanziari?
I rendimenti finanziari si compongono in modo moltiplicativo. Se un portafoglio cresce nei due anni successivi dei fattori 1,5 (+50%) e 0,5 (-50%), il fattore complessivo è 1,5 x 0,5 = 0,75. La media geometrica dei fattori, √0,75, pari a circa 0,866, è il fattore annuo costante che produce lo stesso risultato: una perdita media di circa il 13,4% l'anno, che la media aritmetica dello 0% ignora completamente.
La media aritmetica è sempre la più grande delle tre?
Per insiemi di numeri positivi sì: la media aritmetica è maggiore o uguale alla media geometrica, che a sua volta è maggiore o uguale alla media armonica. L'uguaglianza vale soltanto quando tutti i valori sono identici. È la disuguaglianza AM-GM-HM, un risultato classico dell'algebra.
Fonti
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).