Cos'è un intervallo di confidenza
Un intervallo di confidenza è un intervallo di valori plausibili per un parametro di popolazione sconosciuto -- più spesso una media o una proporzione di popolazione -- calcolato a partire da un campione di dati. Viene costruito attorno a una stima puntuale, come una media campionaria, e si estende in entrambe le direzioni di un margine di errore, in modo che l'intervallo nel suo complesso sia progettato per catturare il vero valore di popolazione, sconosciuto, una percentuale specificata di volte se la stessa procedura di campionamento e calcolo venisse ripetuta molte volte.
La percentuale scelta, chiamata livello di confidenza, è più comunemente 90%, 95% o 99%. Un intervallo più ampio offre maggiore confidenza di catturare il vero valore, ma al costo della precisione; un intervallo più stretto è più preciso ma comporta un livello di confidenza minore, oppure richiede un campione più grande per mantenere lo stesso livello di confidenza. Questo compromesso tra precisione e confidenza è inevitabile ed è centrale per interpretare correttamente qualsiasi intervallo riportato.
L'errore di interpretazione comune della 'confidenza al 95%'
È un errore di interpretazione comune e ben documentato leggere un intervallo di confidenza al 95% come se significasse che c'è una probabilità del 95% che il vero valore di popolazione ricada in quell'unico intervallo specifico, già calcolato. Questa lettura non è tecnicamente corretta: una volta che un intervallo particolare è stato calcolato da un campione particolare, il vero valore di popolazione o vi ricade dentro oppure no -- non c'è più alcuna casualità residua a cui attribuire una probabilità per quel singolo intervallo. Il 95% descrive il tasso di successo a lungo termine del metodo usato per costruire l'intervallo, su molti campionamenti ipotetici ripetuti, non un'affermazione di probabilità su un singolo intervallo dopo il fatto.
Hoekstra e colleghi (2014), pubblicando su Psychonomic Bulletin and Review, hanno documentato che questa distinzione è ampiamente fraintesa, anche tra ricercatori e studenti di statistica, molti dei quali interpretavano un intervallo di confidenza al 95% come se descrivesse direttamente la probabilità che il vero valore ricadesse in quello specifico intervallo. L'interpretazione tecnicamente corretta riguarda l'affidabilità del metodo su campionamenti ripetuti, non un'affermazione di probabilità su un risultato già osservato.
Il margine di errore: il mattone di un intervallo di confidenza
Il margine di errore è la distanza per cui l'intervallo di confidenza si estende su ciascun lato della stima puntuale, e si calcola come un valore critico (z, per un intervallo basato sulla normale) moltiplicato per l'errore standard della stima. Per una media, l'errore standard è la deviazione standard divisa per la radice quadrata della dimensione del campione: errore standard = deviazione standard / sqrt(n). Un campione più grande riduce l'errore standard, e quindi il margine di errore e l'ampiezza complessiva dell'intervallo, in proporzione alla radice quadrata di n.
Il valore critico z dipende dal livello di confidenza scelto: 1,6449 per il 90% di confidenza, 1,96 per il 95%, e 2,5758 per il 99%, ciascuno rappresentando il punto sulla distribuzione normale standard che lascia la probabilità totale corrispondente nelle due code. Un livello di confidenza più alto richiede un valore critico maggiore, il che allarga il margine di errore e quindi l'intervallo risultante, a parità di ogni altro fattore.
Esempio pratico: costruire un intervallo di confidenza al 95% per una media
Si supponga che un campione di n = 100 osservazioni abbia una media di 50 e una deviazione standard di 8, e sia richiesto un intervallo di confidenza al 95% per la media di popolazione. Passo 1: calcolare l'errore standard, 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0,8. Passo 2: calcolare il margine di errore usando il valore critico al 95%, 1,96 x 0,8 = 1,568. Passo 3: sommare e sottrarre il margine di errore dalla media campionaria: 50 - 1,568 = 48,432, e 50 + 1,568 = 51,568.
L'intervallo di confidenza al 95% risultante è 48,432-51,568. L'interpretazione corretta è che se questa stessa procedura di campionamento e calcolo venisse ripetuta molte volte su nuovi campioni di 100 dalla stessa popolazione, circa il 95% degli intervalli costruiti in questo modo conterrebbe la vera media di popolazione -- non che c'è una probabilità del 95% che la vera media ricada specificamente tra 48,432 e 51,568 in questo singolo caso.
Come il livello di confidenza e la dimensione del campione cambiano l'intervallo
Mantenendo fisso il campione (media 50, deviazione standard 8, n = 100), la tabella seguente mostra come gli stessi dati sottostanti producano ampiezze di intervallo diverse a seconda solo del livello di confidenza scelto. Una confidenza maggiore allarga sempre l'intervallo, perché un metodo più affidabile (uno che ha successo più spesso su campionamenti ripetuti) deve, per costruzione, coprire un intervallo più ampio di valori plausibili.
| Livello di confidenza | Valore critico z | Margine di errore | Intervallo risultante |
|---|---|---|---|
| 90% | 1,6449 | 1,316 | 48,684-51,316 |
| 95% | 1,96 | 1,568 | 48,432-51,568 |
| 99% | 2,5758 | 2,061 | 47,939-52,061 |
Domande frequenti
Cosa significa davvero un intervallo di confidenza al 95%?
Significa che se la stessa procedura di campionamento e calcolo venisse ripetuta molte volte, circa il 95% degli intervalli risultanti conterrebbe il vero valore di popolazione. Non significa che c'è una probabilità del 95% che il vero valore ricada in questo unico intervallo specifico, già calcolato -- una distinzione documentata come un fraintendimento diffuso da Hoekstra e colleghi (2014) su Psychonomic Bulletin and Review.
Come si calcola un intervallo di confidenza al 95% per una media?
Calcolare l'errore standard (deviazione standard divisa per la radice quadrata della dimensione del campione), moltiplicarlo per il valore critico al 95% di 1,96 per ottenere il margine di errore, poi sommare e sottrarre quel margine dalla media campionaria. Per un campione con media 50, deviazione standard 8 e n = 100: errore standard = 0,8, margine di errore = 1,568, e l'intervallo è 48,432-51,568.
Cos'è un margine di errore?
Il margine di errore è la quantità aggiunta e sottratta a una stima puntuale, come una media campionaria, per formare un intervallo di confidenza. Si calcola come un valore critico (che dipende dal livello di confidenza scelto) moltiplicato per l'errore standard della stima. Un margine di errore maggiore produce un intervallo più ampio e meno preciso; un margine di errore minore produce un intervallo più stretto e più preciso.
Perché è sbagliato dire che c'è una probabilità del 95% che il vero valore sia in questo intervallo?
Perché una volta che uno specifico intervallo è stato calcolato da uno specifico campione, il vero valore di popolazione o è dentro o non lo è -- non c'è più alcuna casualità residua a cui assegnare una probabilità. Il 95% è una proprietà del metodo usato per costruire l'intervallo, che descrive quanto spesso ha successo su molti campionamenti ipotetici ripetuti, non un'affermazione di probabilità su un singolo intervallo dopo che è già stato calcolato.
Una dimensione del campione maggiore rende un intervallo di confidenza più stretto?
Sì. L'errore standard, e quindi il margine di errore e l'ampiezza complessiva dell'intervallo, si calcola dividendo la deviazione standard per la radice quadrata della dimensione del campione. Poiché la dimensione del campione entra sotto una radice quadrata, quadruplicare la dimensione del campione dimezza l'ampiezza dell'intervallo, mentre un campione più piccolo produce un intervallo proporzionalmente più ampio e meno preciso per lo stesso livello di confidenza.
Perché un livello di confidenza più alto produce un intervallo più ampio?
Un livello di confidenza più alto, come il 99% invece del 95%, richiede un valore critico maggiore (2,5758 contro 1,96), il che aumenta il margine di errore e allarga l'intervallo risultante. Questo riflette un compromesso inevitabile: un metodo che deve avere successo più spesso su campionamenti ripetuti deve coprire un intervallo più ampio di valori plausibili per riuscirci.
Fonti
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.