Cosa significa davvero un intervallo di confidenza
Un intervallo di confidenza è un intervallo di valori, calcolato dai dati campionari, costruito con un metodo che ci si aspetta catturi il parametro reale della popolazione in una percentuale specificata di campioni ripetuti -- più comunemente il 95%. Un intervallo di confidenza al 95% non significa che c'è una probabilità del 95% che il valore reale della popolazione ricada in quell'unico intervallo calcolato; il valore reale o è o non è all'interno di un dato intervallo, e la probabilità si applica alla prestazione a lungo termine del metodo attraverso il campionamento ripetuto, non a un singolo intervallo fisso dopo che è stato calcolato.
Hoekstra e colleghi (2014), pubblicando su Psychonomic Bulletin and Review, hanno documentato che questa distinzione è ampiamente fraintesa, anche tra ricercatori e studenti di statistica, molti dei quali interpretavano un intervallo di confidenza al 95% come se descrivesse direttamente la probabilità che il valore reale ricadesse in quello specifico intervallo. L'interpretazione tecnicamente corretta è un'affermazione sull'affidabilità del metodo usato per costruire l'intervallo attraverso molti campioni ripetuti ipotetici, non un'affermazione di probabilità su un intervallo già osservato.
Cosa determina l'ampiezza di un intervallo di confidenza?
L'ampiezza di un intervallo di confidenza è determinata principalmente da tre fattori: il livello di confidenza desiderato (comunemente 90%, 95% o 99%), la variabilità dei dati sottostanti (tipicamente misurata dalla deviazione standard o, per le proporzioni, da p, la proporzione stimata), e la dimensione del campione. Aumentare il livello di confidenza allarga l'intervallo, perché catturare il valore reale in modo più affidabile attraverso campioni ripetuti richiede un intervallo più ampio. Aumentare la dimensione del campione restringe l'intervallo, perché campioni più grandi forniscono stime più precise del valore della popolazione.
Per una proporzione, il margine di errore in un intervallo di confidenza si calcola come z x sqrt[p(1-p)/n], dove z è lo z-score associato al livello di confidenza desiderato (1,96 per una confidenza del 95%), p è la proporzione stimata (si usa 0,5 quando la proporzione reale è sconosciuta, poiché produce il margine di errore più grande e più conservativo), e n è la dimensione del campione. Poiché la dimensione del campione compare sotto una radice quadrata in questa formula, ridurre il margine di errore della metà richiede circa quadruplicare la dimensione del campione, non semplicemente raddoppiarla.
La formula di Cochran per la dimensione del campione
La formula di Cochran, pubblicata dallo statistico William Cochran in Sampling Techniques, fornisce un metodo per stimare la dimensione minima del campione necessaria per un sondaggio o uno studio, calcolata come n0 = (z^2 x p(1-p)) / e^2, dove z è lo z-score per il livello di confidenza desiderato, p è la proporzione stimata (0,5 se sconosciuta), ed e è il margine di errore desiderato, espresso in forma decimale. Per un livello di confidenza del 95% (z = 1,96), un margine di errore del 5% (e = 0,05), e variabilità massima (p = 0,5), la formula produce n0 = (1,96^2 x 0,5 x 0,5) / 0,05^2 = 384,16, arrotondato per eccesso a 385 rispondenti.
Quando si campiona da una popolazione nota e finita anziché da una effettivamente infinita, la formula di Cochran include una correzione per popolazione finita: n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N), dove N è la dimensione totale della popolazione. Per esempio, applicando questa correzione a una popolazione di 2.000 si riduce la dimensione del campione richiesta da 385 a circa 323, poiché una popolazione totale più piccola richiede proporzionalmente meno rispondenti per ottenere lo stesso margine di errore.
Dimensione del campione, livello di confidenza e margine di errore: confronto svolto
La tabella seguente mostra come la dimensione del campione richiesta, calcolata usando la formula di Cochran con p = 0,5 per una popolazione grande o infinita, cambia al variare del livello di confidenza desiderato e del margine di errore. Livelli di confidenza più alti e margini di errore più piccoli aumentano entrambi la dimensione del campione richiesta, con il margine di errore che ha un effetto particolarmente grande perché compare al quadrato nel denominatore della formula.
| Livello di confidenza | Margine di errore | z-score | Dimensione campione richiesta (p = 0,5) |
|---|---|---|---|
| 90% | 5% | 1,645 | 271 |
| 95% | 5% | 1,96 | 385 |
| 95% | 3% | 1,96 | 1.068 |
| 99% | 5% | 2,576 | 664 |
Errori comuni sul «95% di confidenza»
Oltre al fraintendimento fondamentale sulla probabilità descritto sopra, diversi errori correlati nella lettura degli intervalli di confidenza compaiono frequentemente nella comunicazione scientifica e pubblica. Un errore comune è trattare un intervallo di confidenza al 95% come se significasse che il 95% dei singoli dati del campione ricade in quell'intervallo; un intervallo di confidenza descrive l'incertezza su un parametro della popolazione, come una media o una proporzione, non la dispersione delle singole osservazioni, che invece è descritta dalla deviazione standard o da un intervallo di previsione.
Un altro errore comune è presumere che un intervallo di confidenza più stretto indichi sempre un risultato più importante o più affidabile, senza considerare l'entità dell'effetto o la rilevanza pratica della stima stessa; un campione molto grande può produrre un intervallo di confidenza stretto attorno a un effetto che è statisticamente preciso ma praticamente trascurabile. Un terzo errore comune è confrontare due intervalli di confidenza che si sovrappongono e presumere che i valori sottostanti non siano significativamente diversi, o che intervalli che non si sovrappongono confermino sempre una differenza significativa; verificare formalmente la differenza tra due stime richiede generalmente un test statistico dedicato anziché il solo confronto visivo della sovrapposizione degli intervalli.
Guida pratica per scegliere la dimensione del campione
Ricercatori e progettisti di sondaggi scelgono tipicamente un livello di confidenza e un margine di errore obiettivo in base alla precisione richiesta per la decisione che i dati dovranno supportare, e poi usano una formula come quella di Cochran per calcolare la corrispondente dimensione minima del campione prima che inizi la raccolta dati. Un livello di confidenza del 95% con un margine di errore del 5% è un default comune nella ricerca tramite sondaggi e nei sondaggi d'opinione, bilanciando una stima ragionevolmente precisa con una dimensione del campione praticabile e raggiungibile.
Quando la proporzione stimata (p) non è nota in anticipo, usare p = 0,5 produce la stima di dimensione del campione più conservativa e più grande, poiché p(1-p) è massimizzato a p = 0,5; usare una stima più specifica di p, se disponibile da ricerche precedenti o da uno studio pilota, può ridurre la dimensione del campione richiesta quando ci si aspetta che la proporzione reale sia lontana dal 50%. Organizzazioni come l'American Association for Public Opinion Research pubblicano linee guida dettagliate sulla pianificazione della dimensione del campione e sulla rendicontazione metodologica per i ricercatori che progettano nuovi studi.
Domande frequenti
Cosa significa davvero un intervallo di confidenza al 95%?
Un intervallo di confidenza al 95% significa che se lo stesso processo di campionamento e calcolo venisse ripetuto molte volte, circa il 95% degli intervalli risultanti conterrebbe il valore reale della popolazione. Non significa che c'è una probabilità del 95% che il valore reale ricada in questo unico intervallo specifico già calcolato. Questa distinzione, documentata come un fraintendimento diffuso da Hoekstra e colleghi (2014) su Psychonomic Bulletin and Review, è uno degli errori di lettura più comuni degli intervalli di confidenza sia nella ricerca sia nella comunicazione pubblica.
Quante persone devo intervistare per un livello di confidenza del 95%?
Usando la formula di Cochran con un livello di confidenza del 95% (z = 1,96), un margine di errore del 5%, e variabilità massima (p = 0,5), la dimensione del campione richiesta per una popolazione grande o effettivamente infinita è di circa 385 rispondenti. Se si campiona da una popolazione più piccola e nota, una correzione per popolazione finita riduce questa cifra; per esempio, una popolazione di 2.000 richiede circa 323 rispondenti per raggiungere lo stesso livello di confidenza e margine di errore.
Raddoppiare la dimensione del campione dimezza il margine di errore?
No. Poiché la dimensione del campione compare sotto una radice quadrata nella formula del margine di errore, z x sqrt[p(1-p)/n], ridurre il margine di errore della metà richiede circa il quadruplicarsi della dimensione del campione, non il suo raddoppio. Questa relazione di rendimenti decrescenti significa che sono necessari aumenti molto grandi della dimensione del campione per ottenere miglioramenti relativamente piccoli nella precisione, una volta che uno studio ha già una dimensione del campione ragionevolmente grande.
A cosa serve la formula di Cochran?
La formula di Cochran, tratta da Sampling Techniques di William Cochran, stima la dimensione minima del campione necessaria per raggiungere un livello di confidenza e un margine di errore desiderati quando si stima una proporzione della popolazione. Si calcola come n0 = (z^2 x p(1-p)) / e^2, ed è ampiamente usata nella ricerca tramite sondaggi, nelle ricerche di mercato e negli studi di sanità pubblica per determinare quanti rispondenti o partecipanti servono prima che inizi la raccolta dati.
Un intervallo di confidenza stretto significa che un risultato è più importante?
Non necessariamente. Un intervallo di confidenza stretto indica una maggiore precisione statistica, spesso ottenuta grazie a una dimensione del campione più grande, ma la precisione non è la stessa cosa della rilevanza pratica. Uno studio molto ampio può produrre un intervallo di confidenza stretto e statisticamente preciso attorno a un effetto troppo piccolo per essere praticamente significativo, mentre uno studio più piccolo potrebbe produrre un intervallo più ampio attorno a un effetto grande e praticamente importante. Interpretare un intervallo di confidenza richiede di considerare sia la sua ampiezza sia l'entità della stima che racchiude.
Fonti
- Cochran WG. Sampling Techniques. 3rd ed. Wiley, 1977.
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.
- Kalton G. Introduction to Survey Sampling. Sage Publications, 1983.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. 9th ed. W.H. Freeman, 2017.
- American Association for Public Opinion Research. "Best Practices for Survey Research." AAPOR.org.