Come interpretare il risultato del teorema di Bayes
Mantenendo fissi la sensibilità al 95% e il tasso di falsi positivi al 5%, la tabella seguente mostra quanto drasticamente la probabilità a posteriori cambi al variare della probabilità a priori: è l'effetto della prevalenza di base, il cuore del teorema di Bayes.
| P(A) a priori | P(A | B) a posteriori, con sensibilità 95% e falsi positivi 5% |
|---|---|
| 0,1% | ≈ 1,87% |
| 1% | ≈ 16,10% |
| 10% | ≈ 67,86% |
| 50% | ≈ 95,00% |
- La probabilità a posteriori è molto sensibile a quella a priori, soprattutto quando quest'ultima è piccola: ecco perché la prevalenza di base non può essere ignorata nell'interpretare un test positivo o altre nuove prove.
- La formula di questo calcolatore vale per una partizione binaria: un evento A e il suo complementare ¬A. Situazioni con più di due possibilità mutuamente esclusive (per esempio più diagnosi candidate) richiedono la forma estesa della legge della probabilità totale su tutte le possibilità.
- Il tasso di falsi positivi, P(B | ¬A), non coincide con la specificità: è pari a 1 meno la specificità, quindi un test descritto come « specifico al 95% » ha un tasso di falsi positivi del 5%.
- Arrotondare le probabilità intermedie prima di combinarle può distorcere sensibilmente il valore finale a posteriori, in particolare quando la probabilità a priori è piccola; conviene dunque mantenere la piena precisione lungo tutto il calcolo.
Che cos'è il teorema di Bayes?
Il teorema di Bayes è una formula per aggiornare la probabilità di un evento (A) dopo aver osservato nuove prove (B), combinando una probabilità a priori con quanto quella prova sia verosimile nei diversi scenari. Si scrive P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B) e converte una probabilità « diretta », come quanto sia probabile un test positivo data la malattia, nella probabilità « inversa » che di solito interessa davvero: quanto sia probabile la malattia dato un risultato positivo.
Questo calcolatore usa la comune impostazione dei test diagnostici: P(A) è la probabilità a priori (prevalenza di base) della condizione nella popolazione di riferimento prima di qualsiasi test, P(B | A) è la sensibilità, cioè la probabilità di un risultato positivo dato che la condizione è presente, e P(B | ¬A) è il tasso di falsi positivi, cioè la probabilità di un risultato positivo dato che la condizione è assente (pari a 1 meno la specificità).
L'errore di trascuratezza della prevalenza di base consiste nel concentrarsi sulla sensibilità del test ignorando la probabilità a priori. Un test può avere alta sensibilità e un basso tasso di falsi positivi e produrre comunque una probabilità a posteriori molto più bassa di quanto suggerisca l'intuizione, ogni volta che la condizione cercata è rara nella popolazione.
Come usare questo calcolatore del teorema di Bayes
- Inserisci la probabilità a priori P(A), cioè la prevalenza di base dell'evento o della condizione nella popolazione di riferimento, in percentuale.
- Inserisci P(B | A), la sensibilità, cioè la probabilità di osservare la prova dato che l'evento è vero.
- Inserisci P(B | ¬A), il tasso di falsi positivi, cioè la probabilità di osservare la prova dato che l'evento non è vero.
- Leggi la probabilità a posteriori P(A | B), la probabilità totale della prova P(B) e il rapporto di verosimiglianza (fattore di Bayes), che confronta quanto la prova sia più verosimile sotto A rispetto a sotto ¬A.
La formula dietro il teorema di Bayes
Il teorema di Bayes espande il denominatore P(B) tramite la legge della probabilità totale sulle due possibilità A e ¬A: P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / [P(B | A) × P(A) + P(B | ¬A) × (1 − P(A))].
Esempio pratico: probabilità a priori P(A) = 1%, sensibilità P(B | A) = 95%, tasso di falsi positivi P(B | ¬A) = 5%. Numeratore: 0,95 × 0,01 = 0,0095. Probabilità totale di un risultato positivo: P(B) = 0,95 × 0,01 + 0,05 × 0,99 = 0,0095 + 0,0495 = 0,059. A posteriori: P(A | B) = 0,0095 / 0,059 ≈ 0,1610, quindi la probabilità a posteriori è di circa il 16,10%: anche se il test identifica correttamente il 95% dei casi reali, in questo scenario la maggior parte dei risultati positivi proviene dal gruppo molto più numeroso di persone che non hanno la condizione.
Il rapporto di verosimiglianza (fattore di Bayes) è P(B | A) / P(B | ¬A). Nell'esempio pratico, 0,95 / 0,05 = 19: un risultato positivo è dunque 19 volte più verosimile se A è vero che se A è falso.
Errori comuni
- Confondere P(B | A), la sensibilità, con P(A | B), la probabilità a posteriori: ritenere che un test molto sensibile risultato positivo implichi un'alta probabilità di avere davvero la condizione, ignorando la prevalenza di base, è il classico errore di trascuratezza della prevalenza.
- Ignorare del tutto la probabilità a priori: un test con sensibilità del 95% e tasso di falsi positivi del 5% dà comunque una probabilità a posteriori di circa il 16% quando la probabilità a priori è dell'1%, poiché la maggior parte dei positivi proviene dal gruppo molto più numeroso di veri negativi.
- Trattare specificità e tasso di falsi positivi come intercambiabili senza convertirli: questo calcolatore chiede P(B | ¬A), il tasso di falsi positivi, pari a 1 meno la specificità.
- Applicare la formula a due termini quando le possibilità mutuamente esclusive sono più di due: la versione con A e ¬A vale solo per una partizione binaria degli esiti.
- Arrotondare le probabilità intermedie prima di combinarle, il che accumula errore in un calcolo particolarmente sensibile a piccole variazioni della probabilità a priori quando la prevalenza è bassa.
Domande frequenti
Perché un test accurato al 95% può sbagliare nella maggior parte dei risultati positivi?
Quando la condizione sottostante è rara, la maggior parte dei risultati positivi proviene dal gruppo molto più numeroso di persone senza la condizione risultate falsamente positive, anziché dal piccolo gruppo di chi la ha davvero. Con una probabilità a priori dell'1%, una sensibilità del 95% e un tasso di falsi positivi del 5%, la probabilità a posteriori dato un risultato positivo è solo di circa il 16,10%, anche se il test è accurato al 95% sui casi reali.
Che cos'è l'errore di trascuratezza della prevalenza di base?
È l'errore comune di giudicare la probabilità di un evento data una prova (come un test positivo) basandosi soprattutto sull'accuratezza della prova e ignorando quanto l'evento sia raro o frequente di partenza. Il teorema di Bayes corregge questo errore incorporando esplicitamente la probabilità a priori.
Qual è la differenza tra sensibilità, specificità e tasso di falsi positivi?
La sensibilità è la probabilità di un risultato positivo dato che la condizione è presente, P(B | A). La specificità è la probabilità di un risultato negativo dato che la condizione è assente. Il tasso di falsi positivi è il complementare della specificità, ossia la probabilità di un risultato positivo dato che la condizione è assente: P(B | ¬A) = 1 − specificità.
Che cos'è un fattore di Bayes (rapporto di verosimiglianza)?
Il fattore di Bayes, o rapporto di verosimiglianza, è P(B | A) diviso per P(B | ¬A): quante volte la prova osservata è più verosimile sotto A che sotto ¬A. Nell'esempio pratico di questa pagina (sensibilità 95%, falsi positivi 5%) il fattore di Bayes vale 19, cioè un risultato positivo è 19 volte più verosimile se la condizione è presente che se è assente.
Quanto incide la probabilità a priori su quella a posteriori?
In modo drastico. A parità di sensibilità e tasso di falsi positivi, una probabilità a priori più bassa produce una probabilità a posteriori molto più bassa, poiché una quota maggiore di positivi deriva dai falsi positivi tra i numerosi veri negativi. Alzare la probabilità a priori dall'1% al 10% (mantenendo sensibilità 95% e falsi positivi 5%) porta la probabilità a posteriori da circa il 16,10% a circa il 67,86%.
Probabilità a priori, sensibilità e tasso di falsi positivi devono sommare al 100%?
No. Sono tre probabilità distinte che descrivono cose diverse — la prevalenza di base dell'evento e le due probabilità condizionate della prova in ciascuno scenario — e nessuna di esse deve sommare a un totale particolare.
Fonti
- Bayes T, Price R. An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1763; 53: 370-418.
- Kahneman D, Tversky A. On the psychology of prediction. Psychological Review 1973; 80(4): 237-251 (base-rate neglect in probability judgment).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — probability rules and Bayes' theorem. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (conditional probability and Bayes' rule).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (Bayes' theorem and conditional probability).