Come interpretare il risultato della distribuzione binomiale
La tabella seguente riassume come è definita ciascuna modalità di calcolo e quando è la scelta appropriata.
| Modalità | Domanda a cui risponde | Formula |
|---|---|---|
| Esattamente k | Qual è la probabilità di esattamente k successi? | P(X = k) |
| Al massimo k | Qual è la probabilità di k successi o meno? | P(X ≤ k) |
| Almeno k | Qual è la probabilità di k successi o più? | P(X ≥ k) |
- Una regola pratica spesso citata (presente nei manuali di statistica standard) è che la distribuzione binomiale si può approssimare ragionevolmente con una normale quando sia n × p sia n × (1 − p) valgono almeno 5, e una correzione di continuità migliora ulteriormente l'approssimazione.
- Il modello binomiale richiede prove indipendenti con probabilità di successo costante; il campionamento senza reimmissione da una popolazione finita e piccola viola l'indipendenza e richiede invece la distribuzione ipergeometrica.
- k deve essere un numero intero compreso tra 0 e n inclusi; valori di k non interi o fuori intervallo non sono esiti binomiali validi.
- « Al massimo k » e « almeno k + 1 » sono complementari e sommano al 100% (equivalentemente, « al massimo k − 1 » e « almeno k » sommano al 100%).
Che cos'è la distribuzione binomiale?
La distribuzione binomiale modella il numero di successi in un numero fisso di prove indipendenti (n), ciascuna con la stessa probabilità di successo (p) e con soli due esiti possibili per prova: successo o insuccesso. Esempi classici sono il numero di teste in un numero fisso di lanci di moneta o il numero di pezzi difettosi in un campione fisso prelevato da una linea di produzione, purché la probabilità di successo resti costante tra le prove.
La distribuzione è discreta: il numero di successi k può assumere solo valori interi da 0 a n. La sua forma dipende sia da n sia da p: è simmetrica quando p = 0,5 e diventa sempre più asimmetrica man mano che p si avvicina a 0 o a 1.
I due presupposti fondanti sono l'indipendenza (l'esito di una prova non influenza le altre) e una probabilità di successo costante in tutte le prove. Quando le estrazioni avvengono senza reimmissione da una popolazione finita e piccola, questi presupposti possono venire meno ed è più appropriata la distribuzione ipergeometrica.
Come usare questo calcolatore della distribuzione binomiale
- Inserisci il numero di prove, n.
- Inserisci la probabilità di successo per prova, p, in percentuale.
- Inserisci il numero di successi, k (un numero intero da 0 a n).
- Scegli una modalità — esattamente k successi, al massimo k successi o almeno k successi — e leggi la probabilità risultante, insieme al valore atteso e alla deviazione standard della distribuzione.
La formula dietro la probabilità binomiale
La probabilità di esattamente k successi in n prove è data dalla funzione di massa di probabilità binomiale: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, dove C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) è il numero di modi in cui si possono scegliere k successi tra n prove.
La modalità « al massimo k » somma questa probabilità per ogni esito da 0 a k; « almeno k » la somma da k a n (equivalentemente, 1 meno la probabilità di al massimo k − 1).
Il valore atteso della distribuzione (numero medio di successi) è n × p e la sua deviazione standard è √(n × p × (1 − p)).
Esempio pratico: n = 20 prove, p = 50%, esattamente k = 8 successi. P(X = 8) = C(20, 8) × 0,5⁸ × 0,5¹² ≈ 12,01%. Il valore atteso è 20 × 0,5 = 10 e la deviazione standard è √(20 × 0,5 × 0,5) = √5 ≈ 2,2361.
Errori comuni
- Usare la distribuzione binomiale per prove non indipendenti o in cui la probabilità di successo cambia tra una prova e l'altra, come nelle estrazioni senza reimmissione da una popolazione piccola.
- Errori di scarto di uno tra le modalità: « almeno 4 » non è il complementare di « al massimo 4 »; il complementare di « al massimo 4 » è « almeno 5 ».
- Inserire la probabilità di successo come decimale (0,5) invece che in percentuale (50), quando il campo attende una percentuale.
- Applicare la distribuzione binomiale a un esito continuo o a un conteggio con più di due risultati possibili per prova (che richiede invece un modello multinomiale).
- Dimenticare che la distribuzione binomiale presuppone una p costante in tutte le n prove: una probabilità che varia nel tempo invalida il modello.
Domande frequenti
Come si calcola una probabilità binomiale?
Usa P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, dove n è il numero di prove, p la probabilità di successo e C(n, k) conta i modi in cui si possono disporre k successi tra n prove. Per « al massimo » o « almeno », somma questa formula sull'intervallo di valori di k pertinente.
Quali condizioni servono per usare la distribuzione binomiale?
Deve esserci un numero fisso di prove (n), ciascuna prova deve avere solo due esiti possibili (successo o insuccesso), la probabilità di successo (p) deve restare costante tra le prove e le prove devono essere indipendenti tra loro.
Qual è il numero atteso di successi?
Il valore atteso (media) di una distribuzione binomiale è n × p. Per esempio, con 20 prove e una probabilità di successo del 50%, il numero atteso di successi è 20 × 0,5 = 10.
Qual è la differenza tra « esattamente », « al massimo » e « almeno »?
« Esattamente k » è la probabilità di ottenere precisamente k successi. « Al massimo k » somma le probabilità da 0 a k successi. « Almeno k » somma le probabilità da k a n successi ed equivale a 1 meno la probabilità di al massimo k − 1 successi.
Quando una distribuzione normale può approssimare una binomiale?
Una regola pratica molto usata è che l'approssimazione sia ragionevole quando sia n × p sia n × (1 − p) valgono almeno 5. Al di fuori di quell'intervallo, in particolare con n piccolo o p lontana da 0,5, il calcolo binomiale esatto è più affidabile.
Fonti
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).