Come interpretare il risultato della correlazione
La tabella seguente mostra una scala descrittiva molto usata per interpretare la forza di |r|. Queste fasce sono una convenzione, non un test statistico, e ambiti diversi adottano talvolta soglie diverse.
| Intervallo di |r| | Forza dell'associazione lineare |
|---|---|
| da 0,00 a 0,19 | Molto debole |
| da 0,20 a 0,39 | Debole |
| da 0,40 a 0,59 | Moderata |
| da 0,60 a 0,79 | Forte |
| da 0,80 a 1,00 | Molto forte |
- L'r di Pearson misura specificamente l'associazione lineare. Due variabili possono avere una relazione non lineare forte e chiaramente strutturata (per esempio una curva a U) e produrre comunque un r vicino a 0, poiché r non è in grado di rilevare la curvatura.
- La correlazione non implica causalità: una correlazione elevata può nascere dal fatto che una variabile causi l'altra, da una terza variabile confondente che influenza entrambe, da causalità inversa o da una coincidenza nei dati.
- Poiché r si calcola a partire da scarti al quadrato, è sensibile ai valori anomali: un singolo punto estremo può gonfiare o sgonfiare in misura sostanziale il coefficiente di correlazione.
- L'r di Pearson presuppone che la relazione sottostante sia approssimativamente lineare e che i dati siano misurati su scala a intervalli o di rapporti; per relazioni monotone ma non lineari è spesso più appropriata una misura basata sui ranghi come la correlazione di Spearman.
Che cos'è il coefficiente di correlazione di Pearson?
Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) misura la forza e la direzione della relazione lineare tra due variabili numeriche appaiate. Varia da −1 a +1: valori vicini a +1 indicano una forte relazione lineare positiva (al crescere di x, y tende a crescere), valori vicini a −1 indicano una forte relazione lineare negativa (al crescere di x, y tende a diminuire) e valori vicini a 0 indicano una relazione lineare scarsa o assente.
Questo calcolatore riporta anche l'R², il coefficiente di determinazione, che è pari a r² e rappresenta la quota di varianza di y statisticamente spiegata da una relazione lineare con x. Stima inoltre la retta di regressione ai minimi quadrati, cioè la retta che minimizza la somma dei quadrati delle distanze verticali tra la retta e i punti osservati.
Una forte correlazione tra due variabili non dimostra che una sia causa dell'altra. La correlazione è un'associazione puramente statistica; stabilire un nesso causale richiede prove aggiuntive, come un esperimento controllato o uno studio ben progettato che escluda variabili confondenti e causalità inversa.
Come usare questo calcolatore di correlazione
- Inserisci i valori di x come elenco separato da ;, per esempio 1; 2; 3; 4.
- Inserisci i corrispondenti valori di y come elenco separato da ;, nello stesso ordine e con la stessa lunghezza dei valori di x, per esempio 2; 4; 6; 8.
- Fornisci almeno 3 coppie di dati: con meno il coefficiente di correlazione non è significativo.
- Leggi il coefficiente di correlazione (r), l'R², il coefficiente angolare e l'intercetta della retta di regressione, oltre all'equazione della retta stessa.
La formula dietro la correlazione di Pearson e la regressione lineare
L'r di Pearson è la somma dei prodotti degli scarti di ciascuna variabile dalla propria media, divisa per la radice quadrata del prodotto delle somme degli scarti al quadrato: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √[Σ(xᵢ − x̄)² × Σ(yᵢ − ȳ)²].
La retta di regressione ai minimi quadrati, ŷ = coefficiente angolare × x + intercetta, usa coefficiente angolare = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² e intercetta = ȳ − coefficiente angolare × x̄, scelti per minimizzare la somma dei quadrati delle distanze verticali tra la retta e ciascun punto.
Esempio pratico: x = 1, 2, 3, 4 e y = 2, 4, 6, 8, cioè una retta perfetta passante per l'origine con coefficiente angolare 2. Ne risultano r = 1 (correlazione lineare positiva perfetta), R² = 1, coefficiente angolare = 2, intercetta = 0 e retta di regressione ŷ = 2x.
Errori comuni
- Interpretare la correlazione come causalità: una forte correlazione tra due variabili non dimostra che una sia causa dell'altra; una terza variabile confondente, la causalità inversa o una coincidenza possono produrre lo stesso schema statistico.
- Dare per scontato che l'r di Pearson colga qualsiasi relazione tra due variabili, quando misura solo l'associazione lineare: una forte relazione curva (non lineare) può produrre un r vicino a 0.
- Ignorare l'influenza dei valori anomali, che possono gonfiare o sgonfiare sensibilmente r poiché il calcolo si basa su scarti al quadrato.
- Confondere r con il coefficiente angolare della regressione: r è una misura adimensionale della forza e della direzione dell'associazione lineare, compresa tra −1 e +1, mentre il coefficiente angolare porta con sé le unità di y per unità di x e dipende dalla scala dei dati.
- Estrapolare la retta di regressione al di fuori dell'intervallo dei valori di x osservati, dove la relazione lineare stimata dai dati potrebbe non valere più.
Domande frequenti
Che cosa significa un coefficiente di correlazione pari a 1?
Un coefficiente di correlazione di Pearson r = 1 significa che le due variabili hanno una relazione lineare positiva perfetta: ogni punto cade esattamente su una retta a coefficiente angolare positivo e, al crescere di x, y cresce in modo proporzionale.
La correlazione significa causalità?
No. La correlazione misura un'associazione statistica tra due variabili, non un rapporto di causa ed effetto. Una correlazione elevata può derivare dal fatto che una variabile causi l'altra, da un terzo fattore confondente che agisce su entrambe, da causalità inversa o semplicemente da una coincidenza: stabilire un nesso causale richiede prove ulteriori rispetto alla sola correlazione.
Che cos'è l'R² (coefficiente di determinazione)?
L'R² è pari al quadrato del coefficiente di correlazione di Pearson (r²) e rappresenta la quota di varianza della variabile y statisticamente spiegata dalla sua relazione lineare con x. Un R² di 0,81 (da r = 0,9) significa che l'81% della varianza di y è associato alla relazione lineare con x.
Due variabili possono essere fortemente legate ma avere un coefficiente di correlazione basso?
Sì. L'r di Pearson misura solo le relazioni lineari. Due variabili possono essere legate in modo forte e prevedibile da uno schema curvo (non lineare) — come una U o una curva esponenziale — e produrre comunque un r vicino a 0, poiché r non riesce a cogliere quel tipo di relazione.
Come si calcola la retta di regressione?
La retta di regressione ai minimi quadrati minimizza la somma dei quadrati delle distanze verticali tra la retta e ciascun punto. Il suo coefficiente angolare è pari a Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² e la sua intercetta è la media di y meno il coefficiente angolare per la media di x.
Quanti dati servono per una correlazione significativa?
Questo calcolatore richiede almeno 3 coppie di dati per produrre un risultato, ma i coefficienti di correlazione ricavati da campioni molto piccoli sono estremamente sensibili ai singoli punti e possono risultare fuorvianti; campioni più ampi danno stime più stabili e affidabili della vera relazione sottostante.
Fonti
- Pearson K. Note on regression and inheritance in the case of two parents. Proceedings of the Royal Society of London 1895; 58: 240-242.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — correlation and linear regression. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (correlation, least-squares regression).
- Evans JD. Straightforward Statistics for the Behavioral Sciences. Brooks/Cole, 1996 (descriptive strength bands for |r|).
- Chatterjee S, Hadi AS. Regression Analysis by Example. Wiley (least-squares regression and its assumptions).