Dreiecksarten und die Dreiecksungleichung
Ein Dreieck wird nach seinen Seitenlängen und nach seinem größten Winkel eingeteilt; die folgende Tabelle fasst beide Einteilungen zusammen.
| Einteilungsmerkmal | Art | Beschreibung |
|---|---|---|
| Nach Seiten | Gleichseitig | Alle drei Seiten gleich lang; alle Winkel 60° |
| Nach Seiten | Gleichschenklig | Genau zwei Seiten gleich lang |
| Nach Seiten | Ungleichseitig | Alle drei Seiten verschieden lang |
| Nach Winkel | Spitzwinklig | Alle drei Winkel kleiner als 90° |
| Nach Winkel | Rechtwinklig | Ein Winkel genau 90° |
| Nach Winkel | Stumpfwinklig | Ein Winkel größer als 90° |
- Die Dreiecksungleichung verlangt, dass die Summe zweier beliebiger Seiten die dritte Seite übersteigt (a + b > c, a + c > b, b + c > a); drei Längen, die dem nicht genügen, bilden kein Dreieck, weshalb der Rechner in diesem Fall kein Ergebnis liefert.
- Im Modus mit zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel muss der eingegebene Winkel C echt zwischen 0° und 180° liegen, da das Dreieck bei 0° oder 180° zu einer Geraden entartete.
- Die drei Innenwinkel eines jeden Dreiecks ergeben stets genau 180°, was der Rechner beim Herleiten des dritten Winkels als Prüfung nutzt.
Was löst dieser Dreiecksrechner?
Jedes Dreieck ist durch drei voneinander unabhängige Bestimmungsstücke vollständig festgelegt, am häufigsten durch drei Seiten (SSS), durch zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel (SWS) oder — beim rechtwinkligen Dreieck — durch seine beiden zueinander senkrechten Katheten. Aus jeder dieser Angaben lassen sich mit den üblichen trigonometrischen Beziehungen alle übrigen Seiten und Winkel sowie Fläche und Umfang herleiten.
Dieser Rechner unterstützt alle drei Eingabearten. Im Modus für drei Seiten prüft er vor dem Lösen die Dreiecksungleichung (jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen), da drei Längen, die dieser Bedingung nicht genügen, kein Dreieck bilden können.
So verwenden Sie diesen Dreiecksrechner
- Wählen Sie den Modus der bekannten Größen: drei Seiten, zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel oder die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.
- Für drei Seiten geben Sie die Seite a, die Seite b und die Seite c ein.
- Für zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel geben Sie die Seite a, die Seite b und den zwischen ihnen liegenden Winkel C ein (echt zwischen 0° und 180°).
- Für das rechtwinklige Dreieck geben Sie die beiden Katheten als Seite a und Seite b ein; die Hypotenuse wird daraus selbsttätig hergeleitet.
- Lesen Sie Fläche, Umfang, die gegebenenfalls fehlende Seite sowie alle drei Innenwinkel ab, die sich unmittelbar aktualisieren.
Die Formeln hinter dem Lösen von Dreiecken
Die Formel von Heron berechnet die Fläche eines Dreiecks unmittelbar aus seinen drei Seitenlängen, ohne dass ein Winkel bekannt sein muss. Der Kosinussatz liefert sowohl die fehlende Seite (im Modus SWS) als auch alle drei Winkel aus drei bekannten Seitenlängen.
Häufige Fehler
- Drei Seitenlängen eingeben, die der Dreiecksungleichung widersprechen (etwa 2, 3 und 10) und daher kein gültiges Dreieck bilden können.
- Im Modus SWS einen Winkel eingeben, der tatsächlich nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt — der Kosinussatz verlangt den eingeschlossenen Winkel.
- Im Modus für das rechtwinklige Dreieck die Katheten mit der Hypotenuse verwechseln — die Seiten a und b müssen die beiden zueinander senkrechten Katheten sein, nicht die Hypotenuse.
- Beim Ablesen der Winkelergebnisse Grad und Bogenmaß vermengen; die Ergebnisse werden stets in Grad ausgegeben.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks aus drei Seiten?
Verwenden Sie die Formel von Heron: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), wobei s der halbe Umfang (a+b+c)/2 ist. Für ein Dreieck mit den Seiten 13, 14 und 15 gilt s = 21, und daraus folgt A = √(21×8×7×6) = √7056 = genau 84 Quadrateinheiten.
Wie groß sind die Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 13, 14 und 15?
Für a = 13, b = 14 und c = 15 liefert der Kosinussatz den Winkel A ≈ 53,13°, den Winkel B ≈ 59,49° und den Winkel C ≈ 67,38°, die sich (bis auf Rundung) zu 180° ergänzen.
Wie löst man ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel?
Bestimmen Sie mit dem Kosinussatz die dritte Seite: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Anschließend ermitteln Sie die beiden übrigen Winkel mit dem nach den Winkeln umgestellten Kosinussatz oder mit dem Sinussatz.
Was besagt die Dreiecksungleichung?
Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks größer sein muss als die Länge der dritten Seite. Trifft dies für ein Paar nicht zu, so können die drei Längen kein Dreieck bilden.
Wie berechnet man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks?
Die Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der beiden Katheten: c = √(a² + b²). Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und 4 hat daher die Hypotenuse √(9+16) = √25 = 5.
Kann ein Dreieck zwei rechte Winkel haben?
Nein. Da die drei Innenwinkel eines ebenen Dreiecks stets genau 180° ergeben, bliebe bei zwei Winkeln von je 90° für den dritten Winkel 0° übrig, was kein gültiges Dreieck ergibt.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).