Bogen, Sehne und Sektor bei gebräuchlichen Winkeln
Die folgende Tabelle veranschaulicht, wie sich die Bogenlänge bei einem Kreis mit dem Radius 10 für mehrere gebräuchliche Mittelpunktswinkel zur Sehnenlänge verhält.
| Mittelpunktswinkel | Bogenlänge (r=10) | Sehnenlänge (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5,2360 | 5,1764 |
| 60° | 10,4720 | 10,0000 |
| 90° | 15,7080 | 14,1421 |
| 180° | 31,4159 | 20,0000 |
| 360° | 62,8319 (voller Umfang) | 0 (Anfang = Endpunkt) |
- Bei 360° entspricht die Bogenlänge dem vollen Umfang (2πr), während die Sehnenlänge null beträgt, da Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen.
- Die Bogenlänge ist bei gleichem Winkel stets größer als die Sehnenlänge oder gleich groß, da eine Gerade den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten bildet, während der Bogen sich zwischen ihnen krümmt.
- Die Segmentfläche ist allein für Winkel sinnvoll, die echt zwischen 0° und 360° liegen; bei genau 0° sind sowohl Sektor- als auch Segmentfläche null.
Was sind Bogenlänge, Sehnenlänge und Sektorfläche?
Ein Bogen ist ein gekrümmter Teil des Kreisumfangs, begrenzt durch zwei Radien und einen Mittelpunktswinkel. Die Bogenlänge ist der Abstand entlang dieser Kurve. Eine Sehne ist die gerade Strecke, die die beiden Endpunkte des Bogens verbindet — sie ist stets kürzer als der Bogen selbst, sofern der Winkel nicht verschwindend klein wird.
Ein Sektor ist das tortenstückförmige Gebiet, das vom Bogen und den beiden Radien begrenzt wird; ein Segment (Kreisabschnitt) ist hingegen das kleinere Gebiet, das vom Bogen und der Sehne begrenzt wird, also das Tortenstück abzüglich des von den beiden Radien und der Sehne gebildeten Dreiecks. Alle vier Größen werden unmittelbar aus Radius und Mittelpunktswinkel berechnet.
So verwenden Sie diesen Bogenlängenrechner
- Geben Sie den Radius des Kreises ein.
- Geben Sie den Mittelpunktswinkel in Grad ein, zwischen 0° und 360°.
- Lesen Sie Bogenlänge, Sehnenlänge, Sektorfläche und Segmentfläche ab, die sich sofort aktualisieren.
Die Formeln hinter Bogenlänge und Sektorfläche
Sämtliche Formeln setzen den Mittelpunktswinkel im Bogenmaß voraus (θ = Winkel in Grad × π / 180); der Rechner nimmt diese Umrechnung aus der Gradeingabe selbsttätig vor.
Häufige Fehler
- Den Winkel im Bogenmaß eingeben, obwohl der Rechner Grad erwartet.
- Bogenlänge (ein gekrümmter Abstand) mit Sehnenlänge (ein geradliniger Abstand) verwechseln — beide stimmen allein im Grenzfall überein, in dem der Winkel gegen null geht.
- Sektorfläche (begrenzt durch zwei Radien und den Bogen) mit Segmentfläche (begrenzt durch die Sehne und den Bogen) verwechseln — das Segment ist stets kleiner.
- Einen Winkel über 360° verwenden, dem kein einzelner, eindeutig bestimmter Sektor eines Kreises entspricht.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnet man die Bogenlänge?
Die Bogenlänge ist gleich dem Radius mal dem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß: s = rθ. Bei einem Radius von 10 und einem Winkel von 60° (θ = π/3 im Bogenmaß) beträgt die Bogenlänge daher 10 × π/3 ≈ 10,4720 Einheiten.
Worin unterscheiden sich Bogenlänge und Sehnenlänge?
Die Bogenlänge ist der Abstand zwischen zwei Punkten entlang des gekrümmten Kreisrandes, die Sehnenlänge hingegen der geradlinige Abstand zwischen denselben beiden Punkten. Bei einem Radius von 10 und einem Winkel von 60° beträgt die Bogenlänge etwa 10,4720 und die Sehnenlänge genau 10, denn die Sehne ergibt sich als 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10.
Wie bestimmt man die Fläche eines Sektors?
Die Sektorfläche beträgt das halbe Quadrat des Radius mal dem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß: A = ½r²θ. Bei einem Radius von 10 und einem Winkel von 60° ergibt sich somit die Sektorfläche ½ × 100 × (π/3) ≈ 52,3599 Quadrateinheiten.
Was ist ein Segment eines Kreises?
Ein Segment ist das Gebiet zwischen einer Sehne und dem von ihr abgeschnittenen Bogen — also die Sektorfläche abzüglich der Dreiecksfläche, die von den beiden Radien und der Sehne gebildet wird. Bei einem Radius von 10 und einem Winkel von 60° beträgt die Segmentfläche daher ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9,0586 Quadrateinheiten.
Wie rechnet man für diese Formeln Grad in das Bogenmaß um?
Multiplizieren Sie den Winkel in Grad mit π/180. So ergibt etwa 60° × π/180 = π/3 im Bogenmaß, also ungefähr 1,0472.
Wie groß ist die Bogenlänge eines vollen Kreises?
Bei einem Mittelpunktswinkel von 360° (2π im Bogenmaß) entspricht die Bogenlänge dem vollen Umfang, also 2πr. Für einen Radius von 10 sind das 2π × 10 ≈ 62,8319 Einheiten.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).