Einen Steigungswert lesen
Die folgende Tabelle fasst zusammen, was verschiedene Steigungswerte über die Richtung einer Geraden aussagen.
| Steigungswert | Verhalten der Geraden |
|---|---|
| Positiv (m > 0) | Steigt von links nach rechts an |
| Negativ (m < 0) | Fällt von links nach rechts ab |
| Null (m = 0) | Genau waagerechte Gerade |
| Nicht definiert | Genau senkrechte Gerade (x₁ = x₂) |
- Eine senkrechte Gerade hat eine nicht definierte Steigung, da die waagerechte Änderung (x₂ − x₁) null wird und das Verhältnis dadurch undefiniert bleibt; der Rechner gibt in diesem Fall stattdessen unmittelbar die Geradengleichung der Form x = konstant aus.
- Zwei zusammenfallende Punkte (x₁ = x₂ und y₁ = y₂) legen keine eindeutige Gerade fest, weshalb sich hierfür keine Steigung berechnen lässt.
- Je steiler eine Gerade verläuft, desto größer ist der Betrag ihrer Steigung; eine Steigung vom Betrag 1 bildet einen Winkel von 45° zur Waagerechten — der Rechner gibt +45° bei einer Steigung von 1 und −45° bei −1 aus.
Was ist die Steigung?
Die Steigung beschreibt, wie stark eine Gerade ansteigt oder abfällt, und ist als Verhältnis der senkrechten Änderung zur waagerechten Änderung zwischen zwei Punkten der Geraden festgelegt: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Eine positive Steigung bedeutet, dass die Gerade von links nach rechts ansteigt; eine negative, dass sie abfällt; eine Steigung von null bedeutet, dass die Gerade genau waagerecht verläuft.
Dieser Rechner rechnet die Steigung überdies in einen Neigungswinkel um — jenen Winkel, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt und der über die Arkustangensfunktion bestimmt wird — und schreibt die Geradengleichung in der Normalform y = mx + b.
So verwenden Sie diesen Steigungsrechner
- Geben Sie die Koordinaten des ersten Punktes ein, x₁ und y₁.
- Geben Sie die Koordinaten des zweiten Punktes ein, x₂ und y₂.
- Lesen Sie die Steigung, den Neigungswinkel in Grad sowie die Geradengleichung in der Normalform ab.
Die Formel für die Steigung
Zunächst wird die Steigung berechnet; sowohl der Neigungswinkel als auch die Gleichung leiten sich anschließend aus ihr her.
Häufige Fehler
- Die Reihenfolge der Subtraktion in Zähler und Nenner vertauschen (also y₁ − y₂ über x₂ − x₁ bilden), wodurch sich das Vorzeichen der Steigung umkehrt.
- Annehmen, eine Steigung von null und eine nicht definierte Steigung bedeuteten dasselbe — null steht für waagerecht, nicht definiert hingegen für senkrecht.
- Steigung und Neigungswinkel verwechseln — einer Steigung von 1 entspricht ein Winkel von 45° und nicht eine Steigung von 45.
- Übersehen, dass die Steigung ein Verhältnis und keine Länge ist — für sich genommen besitzt sie daher keine Längeneinheit.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten?
Die Steigung ist gleich der Änderung von y geteilt durch die Änderung von x: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Für die Punkte (1|2) und (4|8) beträgt die Steigung somit (8−2)/(4−1) = 6/3 = 2.
Was bedeutet eine Steigung von 2?
Eine Steigung von 2 bedeutet, dass die Gerade je Einheit in waagerechter Richtung um 2 Einheiten in senkrechter Richtung ansteigt. Ihr entspricht ein Neigungswinkel von arctan(2) ≈ 63,43° gegenüber der Waagerechten.
Wie lautet die Gleichung einer Geraden mit der Steigung 2 durch (1|2)?
Setzen Sie in y = mx + b ein und lösen Sie nach b auf: b = y₁ − m×x₁ = 2 − 2×1 = 0. Die Gleichung lautet daher y = 2x, und die Gerade verläuft überdies durch (4|8), da 2×4 = 8 gilt.
Warum ist die Steigung einer senkrechten Geraden nicht definiert?
Eine senkrechte Gerade besitzt für jeden Punkt dieselbe x-Koordinate, wodurch der Nenner der Steigungsformel (x₂−x₁) null wird. Da die Division durch null nicht definiert ist, lässt sich die Steigung nicht als Zahl angeben — die Gerade wird stattdessen durch die Gleichung x = konstant beschrieben.
Worin unterscheiden sich Steigung und Neigungswinkel?
Die Steigung ist das Zahlenverhältnis der senkrechten zur waagerechten Änderung (m); der Neigungswinkel ist hingegen der Winkel in Grad, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt und der sich als arctan(m) ergibt. Einer Steigung von 1 entspricht ein Winkel von 45°, einer Steigung von 2 hingegen ein Winkel von etwa 63,43° und nicht etwa 90°.
Kann die Steigung negativ sein?
Ja. Eine negative Steigung bedeutet, dass die Gerade von links nach rechts abfällt. So ergeben etwa die Punkte (0|4) und (2|0) die Steigung (0−4)/(2−0) = −2.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Slope." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard coordinate-geometry and algebra textbook conventions (e.g. Larson, Precalculus, Cengage Learning).