Zwei Sätze, zwei unterschiedliche Sätze bekannter Werte
Jedes Dreieck, das kein rechtwinkliges Dreieck ist -- ein schiefwinkliges Dreieck genannt -- lässt sich vollständig aus drei bekannten Größen lösen, doch welche Formel anzuwenden ist, hängt genau davon ab, welche drei Größen bekannt sind. Der Sinussatz und der Kosinussatz sind die beiden universellen Werkzeuge dafür, und jeder eignet sich für eine andere Kombination bekannter Größen.
| Bekannte Größen | Methode | Anmerkungen |
|---|---|---|
| Zwei Winkel + beliebige Seite (WWS oder WSW) | Sinussatz | Stets genau eine Lösung |
| Zwei Seiten + eingeschlossener Winkel (SWS) | Kosinussatz | Stets genau eine Lösung |
| Drei Seiten (SSS) | Kosinussatz | Stets genau eine Lösung (sofern die Dreiecksungleichung erfüllt ist) |
| Zwei Seiten + nicht eingeschlossener Winkel (SSW) | Sinussatz, mit Vorsicht | Null, eine oder zwei Lösungen möglich -- der Sonderfall |
Der Sinussatz: zwei Winkel und eine Seite (WWS/WSW)
Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis der Länge einer Seite zum Sinus des ihr direkt gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten gleich ist: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Sind zwei Winkel und eine beliebige Seite bekannt, ergibt sich der dritte Winkel unmittelbar daraus, dass sich die Winkel eines Dreiecks zu 180 Grad summieren, und die beiden fehlenden Seiten ergeben sich direkt aus dem Verhältnis.
Rechenbeispiel: Winkel A = 40 Grad, Seite a = 15 (Winkel A gegenüberliegend) und Winkel B = 60 Grad. Schritt 1: Winkel C = 180 - 40 - 60 = 80 Grad. Schritt 2: Seite b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 Grad) / sin 40 Grad = (15 x 0,8660) / 0,6428, etwa 20,2094. Schritt 3: Seite c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 Grad) / sin 40 Grad, etwa 22,9813. Die Fläche des Dreiecks, mit 1/2 x a x b x sin C, beträgt etwa 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 Grad), etwa 149,2681 Quadrateinheiten.
Der Kosinussatz: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) oder drei Seiten (SSS)
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf Dreiecke ohne rechten Winkel: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), wobei C der zwischen den Seiten a und b eingeschlossene Winkel ist. Ist C exakt 90 Grad, gilt cos(C) = 0, und die Formel reduziert sich exakt auf den Satz des Pythagoras, a^2 + b^2 = c^2.
Rechenbeispiel: Seiten a = 8 und b = 11, mit einem eingeschlossenen Winkel von C = 37 Grad. Schritt 1: c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37 Grad) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, etwa 185 - 140,55 = 44,45, sodass c etwa 6,6663 beträgt. Schritt 2: Sobald alle drei Seiten bekannt sind, ergeben sich die übrigen Winkel aus der umgestellten Formel, cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), was Winkel A von etwa 46,2375 Grad und Winkel B von etwa 96,7625 Grad ergibt (die zusammen mit C = 37 Grad wie gefordert 180 Grad ergeben). Die Fläche, 1/2 x a x b x sin(C), beträgt etwa 1/2 x 8 x 11 x sin(37 Grad), etwa 26,4799 Quadrateinheiten.
Der SSW-Sonderfall, ehrlich erklärt
Sind zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt (SSW) -- zum Beispiel Seite a, Seite b und Winkel A, wobei A nicht der Winkel zwischen a und b ist --, lässt sich der Sinussatz zwar weiterhin anwenden, doch die Anzahl gültiger Dreiecke, die die gegebenen Größen erfüllen, ist nicht immer eins. Je nach den konkreten Werten kann es null Dreiecke geben (der gegebene Winkel und die Seiten können überhaupt kein geschlossenes Dreieck bilden), genau ein Dreieck oder genau zwei unterschiedliche, beide gültige Dreiecke.
Der entscheidende Faktor ist die Höhe h = b x sin(A), verglichen mit Seite a. Ist a kleiner als h, existiert kein Dreieck. Ist a gleich h, existiert genau ein Dreieck mit einem rechten Winkel am Winkel A gegenüberliegenden Eckpunkt. Ist h kleiner als a und a kleiner als b, existieren zwei unterschiedliche Dreiecke. Ist a größer oder gleich b, existiert genau ein Dreieck.
Rechenbeispiel für den Sonderfall: Seite a = 20, Seite b = 25, Winkel A = 40 Grad. Hier ist h = 25 x sin(40 Grad), etwa 16,0697, und da 16,0697 kleiner als 20 und 20 kleiner als 25 ist, erfüllen zwei unterschiedliche Dreiecke diese Größen. Löst man beide: Das erste hat Winkel B von etwa 53,4641 Grad, Winkel C von etwa 86,5359 Grad und Seite c von etwa 31,0576; das zweite hat Winkel B von etwa 126,5359 Grad, Winkel C von etwa 13,4641 Grad und Seite c von etwa 7,2446. Beide Dreiecke gehen von identischen Ausgangswerten a = 20, b = 25 und A = 40 Grad aus, beschreiben jedoch zwei tatsächlich unterschiedliche Formen -- genau deshalb wird der SSW-Fall als mehrdeutig bezeichnet und erfordert diese zusätzliche Prüfung, die WWS, WSW und SWS nicht benötigen.
Die richtige Formel in der Praxis wählen
In Bereichen wie Vermessung, Navigation und Ingenieurwesen lautet die praktische Empfehlung, zunächst zu bestimmen, welche drei Größen tatsächlich verfügbar sind, bevor eine Formel gewählt wird, statt aus Gewohnheit auf einen Satz zurückzugreifen. Werden zwei Winkel gemessen (üblich bei der Triangulation von zwei festen Beobachtungspunkten aus), gilt der Sinussatz direkt und eindeutig. Werden zwei Entfernungen und der zwischen ihnen liegende Winkel gemessen (üblich, wenn zwei Seiten von einem einzigen Eckpunkt aus abgesteckt werden), gilt der Kosinussatz direkt und eindeutig.
Der SSW-Fall tritt häufiger auf, als es zunächst scheint -- etwa beim Messen einer bekannten Seite, einer zweiten Seite und eines Winkels, der physisch nicht zwischen ihnen liegt -- und da er unbemerkt zwei gültige Antworten liefern kann, lohnt sich die explizite Prüfung des Vergleichs von a und h immer dann, wenn SSW die einzige verfügbare Kombination ist, statt anzunehmen, dass das zuerst berechnete Dreieck das einzig passende zu den Daten ist.
Häufig gestellte Fragen
Wann sollte ich den Sinussatz statt des Kosinussatzes verwenden?
Verwenden Sie den Sinussatz, wenn zwei Winkel und eine beliebige Seite bekannt sind (WWS oder WSW), was stets genau eine Lösung ergibt, oder wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind (SSW), was eine Prüfung auf den Sonderfall erfordert. Verwenden Sie stattdessen den Kosinussatz, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) oder alle drei Seiten (SSS) bekannt sind.
Was ist der SSW-Sonderfall?
SSW bedeutet, dass zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind. Je nach den konkreten Werten kann diese Kombination null, eine oder zwei gültige Dreiecke ergeben, im Unterschied zu WWS, WSW oder SWS, die stets genau eine ergeben. Zum Beispiel erfüllen bei a = 20, b = 25 und Winkel A = 40 Grad zwei unterschiedliche Dreiecke die gegebenen Größen -- eines mit Winkel B von etwa 53,4641 Grad, das andere mit Winkel B von etwa 126,5359 Grad.
Wie findet man eine fehlende Seite mit dem Kosinussatz?
Wenden Sie c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C) an, wobei C der zwischen den Seiten a und b eingeschlossene Winkel ist, und ziehen Sie dann die Quadratwurzel. Für a = 8, b = 11 und C = 37 Grad ergibt sich c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37 Grad), etwa 44,45, sodass c etwa 6,6663 beträgt.
Wie findet man eine fehlende Seite mit dem Sinussatz?
Stellen Sie das Verhältnis a / sin(A) = b / sin(B) auf und lösen Sie nach der unbekannten Seite auf. Für Winkel A = 40 Grad, Seite a = 15 und Winkel B = 60 Grad ergibt sich Seite b = (15 x sin 60 Grad) / sin 40 Grad, etwa 20,2094.
Kann der Kosinussatz ein Dreieck allein aus drei Seiten (SSS) lösen?
Ja. Sind alle drei Seiten bekannt, wird der Kosinussatz umgestellt, um jeden Winkel zu lösen: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc). Der Sinussatz kann nicht zum Einstieg in ein SSS-Problem verwendet werden, da er mindestens einen bekannten Winkel zur Aufstellung seines Verhältnisses benötigt, den SSS nicht direkt liefert.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).