Kosinussatz und Satz des Pythagoras im Vergleich
Die folgende Tabelle zeigt, wie sich der Kosinussatz mit dem eingeschlossenen Winkel verändert, wobei der Satz des Pythagoras den Sonderfall bei 90° bildet.
| Winkel C | cos C | Wirkung auf c² |
|---|---|---|
| 90° (rechter Winkel) | 0 | c² = a² + b² (genau der Satz des Pythagoras) |
| < 90° (spitz) | positiv | c² < a² + b² (c ist kürzer als im rechtwinkligen Fall) |
| > 90° (stumpf) | negativ | c² > a² + b² (c ist länger als im rechtwinkligen Fall) |
- Der Kosinussatz gilt für jedes Dreieck und nicht allein für rechtwinklige — er ist der allgemeine Fall, während der Satz des Pythagoras seinen Sonderfall bei 90° darstellt.
- Der Winkel C muss echt zwischen 0° und 180° liegen; an beiden Grenzen lägen die drei Punkte auf einer Geraden, und es existierte kein Dreieck.
Was besagt der Kosinussatz?
Der Kosinussatz verknüpft die drei Seiten eines Dreiecks mit dem Kosinus eines seiner Winkel: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Er verallgemeinert den Satz des Pythagoras — beträgt der Winkel C nämlich genau 90°, so ist cos C = 0, und die Formel geht in c² = a² + b² über, also in die vertraute pythagoreische Beziehung.
Sind zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben (der hier verwendete Fall SWS), so liefert der Kosinussatz die dritte Seite unmittelbar; dieselbe Formel, entsprechend umgestellt, ergibt anschließend die beiden übrigen Winkel.
So verwenden Sie diesen Kosinussatz-Rechner
- Geben Sie die Seite a und die Seite b ein, also die beiden bekannten Seiten.
- Geben Sie den Winkel C ein, den zwischen den Seiten a und b eingeschlossenen Winkel, der echt zwischen 0° und 180° liegen muss.
- Lesen Sie die Seite c (die fehlende Seite), die Winkel A und B sowie die Fläche des Dreiecks ab.
Die Formel des Kosinussatzes
Dieselbe Grundbeziehung wird umgestellt, um entweder eine Seite zu bestimmen oder — sobald alle drei Seiten bekannt sind — einen Winkel.
Häufige Fehler
- Einen Winkel eingeben, der tatsächlich nicht zwischen den Seiten a und b liegt — der Kosinussatz verlangt im Fall SWS den eingeschlossenen Winkel.
- Das Minuszeichen in c² = a² + b² − 2ab·cos C vergessen, was leicht geschieht, wenn der Winkel spitz und cos C daher positiv ist.
- Den Kosinussatz zur Bestimmung einer fehlenden Seite heranziehen, obwohl allein zwei Winkel und eine Seite bekannt sind — dieser Fall verlangt vielmehr den Sinussatz.
- Den Winkel C im Bogenmaß eingeben statt in den erwarteten Grad.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel des Kosinussatzes?
Sie lautet c² = a² + b² − 2ab·cos C, wobei C den zwischen den Seiten a und b eingeschlossenen Winkel bezeichnet und c die dem Winkel C gegenüberliegende Seite.
Wie bestimmt man mit dem Kosinussatz eine fehlende Seite?
Ziehen Sie nach dem Anwenden der Formel die Quadratwurzel: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Für a = 5, b = 7 und C = 49° ergibt sich c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28,076 ≈ 5,2987.
Wie bestimmt man mit dem Kosinussatz einen Winkel?
Stellen Sie die Formel nach dem Kosinus um und wenden Sie anschließend den Arkuskosinus an: A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). Für a = 5, b = 7 und c ≈ 5,2987 ergibt sich der Winkel A ≈ 45,4117°.
Wie hängt der Kosinussatz mit dem Satz des Pythagoras zusammen?
Beträgt der eingeschlossene Winkel C genau 90°, so ist cos C = 0, und der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab·cos C geht damit genau in den Satz des Pythagoras über, also in c² = a² + b².
Wann verwendet man den Kosinussatz statt des Sinussatzes?
Verwenden Sie den Kosinussatz, wenn drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) bekannt sind — Fälle, die sich mit dem Sinussatz nicht unmittelbar lösen lassen. Den Sinussatz verwenden Sie hingegen, wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind.
Wie groß ist die Fläche eines Dreiecks mit den Seiten 5 und 7 und einem eingeschlossenen Winkel von 49°?
Es gilt Fläche = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0,5 × 35 × 0,754710 ≈ 13,2074 Quadrateinheiten.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).