Wann der Sinussatz zu verwenden ist
Der Sinussatz lässt sich unmittelbar auf zwei Fälle des Dreieckslösens anwenden; die übrigen Fälle erfordern hingegen den Kosinussatz.
| Bekannte Größen | Geeignetes Verfahren |
|---|---|
| Zwei Winkel + beliebige Seite (SWW oder WSW) | Sinussatz — eindeutig, genau eine Lösung |
| Zwei Seiten + nicht eingeschlossener Winkel (SSW) | Sinussatz, jedoch mit Prüfung auf den mehrdeutigen Fall (0, 1 oder 2 Dreiecke möglich) |
| Drei Seiten (SSS) | Kosinussatz |
| Zwei Seiten + eingeschlossener Winkel (SWS) | Kosinussatz |
- Die Eingabeart dieses Rechners (zwei Winkel und eine Seite, also SWW beziehungsweise WSW) besitzt stets genau eine gültige Lösung, weshalb der mehrdeutige Fall SSW hier nicht auftritt.
- Die drei Winkel eines jeden Dreiecks müssen sich zu genau 180° ergänzen; ergeben die beiden eingegebenen Winkel bereits 180° oder mehr, so existiert kein gültiges Dreieck und der Rechner liefert kein Ergebnis.
Was besagt der Sinussatz?
Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seitenlänge zum Sinus des dieser Seite gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten gleich groß ist: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Dadurch lässt sich eine fehlende Seite oder ein fehlender Winkel immer dann bestimmen, wenn hinreichend viele Angaben vorliegen.
Sind zwei Winkel und die einem von ihnen gegenüberliegende Seite gegeben (der hier verwendete Fall SWW beziehungsweise WSW), so ist das Dreieck vollständig und eindeutig bestimmt — anders als im Fall SSW (zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel), der zwei gültige Dreiecke, ein einziges oder gar keines liefern kann und daher als mehrdeutiger Fall bezeichnet wird.
So verwenden Sie diesen Sinussatz-Rechner
- Geben Sie den Winkel A sowie die Länge der Seite a ein, also der dem Winkel A gegenüberliegenden Seite.
- Geben Sie den Winkel B ein, den zweiten bekannten Winkel.
- Der Rechner setzt voraus, dass Winkel A und Winkel B zusammen weniger als 180° ergeben, da der dritte Winkel (C) positiv sein muss.
- Lesen Sie die Seite b, den Winkel C, die Seite c sowie die Fläche des Dreiecks ab, die sämtlich aus dem Sinussatz hergeleitet werden.
Die Formel des Sinussatzes
Sobald der Winkel C aus der Winkelsumme bestimmt ist (180° − A − B), wird das Verhältnis a / sin A des Sinussatzes angewandt, um beide übrigen Seiten zu ermitteln.
Häufige Fehler
- Die Seite a so eingeben, als läge sie dem Winkel B statt dem Winkel A gegenüber — der Sinussatz ordnet jede Seite strikt ihrem Gegenwinkel zu.
- Zwei Winkel eingeben, die zusammen 180° oder mehr ergeben, sodass für einen gültigen dritten Winkel kein Raum bleibt.
- Den Sinussatz (Verhältnisse von Seiten zu den Sinuswerten der Gegenwinkel) mit dem Kosinussatz verwechseln, der für die Fälle SWS und SSS dient.
- Übersehen, dass die Winkel in Grad und nicht im Bogenmaß einzugeben sind.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel des Sinussatzes?
Sie lautet a / sin A = b / sin B = c / sin C, wobei jede Seite dem Sinus desjenigen Winkels zugeordnet wird, der ihr unmittelbar gegenüberliegt.
Wie bestimmt man mit dem Sinussatz eine fehlende Seite?
Stellen Sie das Verhältnis mit der bekannten Seite und dem bekannten Winkel auf und lösen Sie nach der fehlenden Seite auf: b = (a × sin B) / sin A. Für A = 30°, a = 10 und B = 45° ergibt sich b als 10 × 0,707107 geteilt durch 0,5, also ungefähr 14,1421.
Wie groß ist der dritte Winkel, wenn A = 30° und B = 45° gilt?
Da sich die drei Winkel eines Dreiecks zu 180° ergänzen, beträgt der Winkel C = 180° − 30° − 45° = 105°.
Was ist der mehrdeutige Fall beim Sinussatz?
Der mehrdeutige Fall (SSW) tritt auf, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind — je nach den Werten können null, ein oder zwei verschiedene Dreiecke den gegebenen Maßen genügen. In der Eingabeart SWW dieses Rechners tritt er hingegen nicht auf, da diese stets genau eine Lösung besitzt.
Wie bestimmt man mit dem Sinussatz die Fläche eines Dreiecks?
Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, so gilt Fläche = ½ × Seite₁ × Seite₂ × sin(eingeschlossener Winkel). Für a = 10, b ≈ 14,1421 und den eingeschlossenen Winkel C = 105° ergibt sich die Fläche ½ × 10 × 14,1421 × sin(105°) ≈ 68,3013 Quadrateinheiten.
Wann sollte ich den Sinussatz statt des Kosinussatzes verwenden?
Verwenden Sie den Sinussatz, wenn Sie zwei Winkel und eine beliebige Seite kennen (SWW beziehungsweise WSW) oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSW). Den Kosinussatz verwenden Sie hingegen, wenn drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) bekannt sind, da sich diese Fälle mit dem Sinussatz nicht unmittelbar lösen lassen.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).