Das Ergebnis der Abstandsformel lesen
Die folgende Tabelle zeigt, wie sich die Abstandsformel zu den Katheten des von den beiden Punkten gebildeten rechtwinkligen Dreiecks verhält.
| Größe | Bedeutung |
|---|---|
| x₂ − x₁ | Waagerechte Kathete des rechtwinkligen Dreiecks |
| y₂ − y₁ | Senkrechte Kathete des rechtwinkligen Dreiecks |
| d | Hypotenuse — der geradlinige Abstand zwischen den Punkten |
- Stimmen die x-Koordinaten der beiden Punkte überein (eine senkrechte Gerade), so ist die Steigung nicht definiert, da der Nenner (x₂ − x₁) null wird — der Rechner weist in diesem Fall daher den Hinweis auf eine nicht definierte Steigung aus statt eines Zahlenwerts.
- Die Abstandsformel liefert dasselbe Ergebnis, gleichgültig welcher Punkt mit 1 und welcher mit 2 bezeichnet wird, da beide Unterschiede vor dem Addieren quadriert werden.
Was ist die Abstandsformel?
Die Abstandsformel berechnet den geradlinigen Abstand zwischen zwei Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) in der kartesischen Koordinatenebene. Sie leitet sich unmittelbar aus dem Satz des Pythagoras her: Der waagerechte und der senkrechte Unterschied zwischen den Punkten bilden die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, und der Abstand zwischen den Punkten ist dessen Hypotenuse.
Neben dem Abstand liefert dieser Rechner auch den Mittelpunkt (jenen Punkt, der genau in der Mitte zwischen den beiden gegebenen Punkten liegt) sowie die Steigung der Geraden durch die Punkte, die deren Neigung und Richtung beschreibt.
So verwenden Sie diesen Rechner zur Abstandsformel
- Geben Sie die Koordinaten des ersten Punktes ein, x₁ und y₁.
- Geben Sie die Koordinaten des zweiten Punktes ein, x₂ und y₂.
- Lesen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten, deren Mittelpunkt sowie Steigung und y-Achsenabschnitt der Verbindungsgeraden ab.
Die Abstandsformel
Die Abstandsformel ist der Satz des Pythagoras, angewandt auf den waagerechten und den senkrechten Unterschied zwischen zwei Punkten.
Häufige Fehler
- Die Koordinaten in der falschen Reihenfolge subtrahieren und dabei übersehen, dass die Unterschiede ohnehin quadriert werden, Vorzeichenfehler das Abstandsergebnis also gar nicht verändern.
- Am Ende das Ziehen der Quadratwurzel vergessen — der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen liefert das Quadrat des Abstands und nicht den Abstand selbst.
- Annehmen, die Steigung sei stets definiert — eine senkrechte Gerade (gleiche x-Koordinaten) hat eine nicht definierte Steigung und nicht etwa die Steigung null.
- Die Formel für den Mittelpunkt (Mittelwert der Koordinaten) mit der Abstandsformel (pythagoreische Summe der Unterschiede) verwechseln.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Abstandsformel?
Die Abstandsformel lautet d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) und leitet sich aus dem Satz des Pythagoras her. Für die Punkte (0|0) und (3|4) beträgt der Abstand somit √(3² + 4²) = √25 = 5.
Wie bestimmt man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten?
Bilden Sie den Mittelwert der x-Koordinaten und den der y-Koordinaten jeweils gesondert: Mittelpunkt = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Für (0|0) und (3|4) liegt der Mittelpunkt daher bei x = 1,5 und y = 2.
Wie hängt die Abstandsformel mit dem Satz des Pythagoras zusammen?
Der waagerechte Unterschied (x₂−x₁) und der senkrechte Unterschied (y₂−y₁) zwischen zwei Punkten bilden die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks; der geradlinige Abstand zwischen den Punkten ist dessen Hypotenuse, weshalb d = √(Kathete₁² + Kathete₂²) gilt — also genau der Satz des Pythagoras.
Was bedeutet es, wenn die Steigung nicht definiert ist?
Eine Steigung ist dann nicht definiert, wenn die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate haben, die Verbindungsgerade also genau senkrecht verläuft. Da die Division durch null (x₂ − x₁ = 0) keinen definierten Wert besitzt, lässt sich die Steigung nicht als Zahl angeben.
Kann der Abstand zwischen zwei Punkten negativ sein?
Nein. Der Abstand ist stets null oder positiv, da er aus der Quadratwurzel einer Summe von Quadraten hervorgeht, die niemals negativ wird. Ein Abstand von null bedeutet daher, dass die beiden Punkte zusammenfallen.
Wie bestimmt man die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte?
Berechnen Sie zunächst die Steigung m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Bestimmen Sie anschließend den y-Achsenabschnitt über b = y₁ − m×x₁. Für die Punkte (0|0) und (3|4) ergibt sich m = 4/3 und b = 0 − (4/3)(0) = 0, mithin die Gerade y = (4/3)x.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Distance" and "Midpoint." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard coordinate-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Precalculus, Cengage Learning).