Volumen- und Oberflächenformeln nach Körper
Die folgende Tabelle fasst die für jeden Körper verwendete Volumen- und Oberflächenformel zusammen.
| Körper | Volumenformel | Oberflächenformel |
|---|---|---|
| Kugel | V = (4/3)πr³ | O = 4πr² |
| Würfel | V = s³ | O = 6s² |
| Quader | V = lbh | O = 2(lb + lh + bh) |
| Zylinder | V = πr²h | O = 2πr² + 2πrh |
| Kegel | V = (1/3)πr²h | O = πr² + πr·Mantellinie |
| Quadratische Pyramide | V = (1/3)l²h | O = l² + 2l·Mantellinie |
| Halbkugel | V = (2/3)πr³ | O = 3πr² |
| Kegelstumpf | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | O = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·Mantellinie |
- Bei Kegel, Pyramide und Kegelstumpf verwendet die Oberflächenformel die Mantellinie (bei der Pyramide die Seitenkante der Mantelfläche), die intern über den Satz des Pythagoras aus Radius beziehungsweise Kante und Höhe hergeleitet wird — sie ist daher nicht mit der eingegebenen senkrechten Höhe gleichzusetzen.
- Der Begriff Oberfläche bezeichnet hier die Gesamtoberfläche einschließlich der Grundfläche beziehungsweise Grundflächen; gemeint ist nicht die Mantelfläche allein — für diese Aufschlüsselung steht der eigene Oberflächenrechner bereit.
- Sämtliche Formeln setzen gerade (nicht schiefe) Körper voraus: Spitze oder Deckfläche liegen unmittelbar über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
Was ist das Volumen?
Das Volumen ist der Betrag des dreidimensionalen Raums, den ein Körper einschließt; es wird in Kubikeinheiten gemessen (beispielsweise Kubikmeter oder Kubikfuß). Jeder regelmäßige Körper besitzt eine geschlossene Formel, die sein Volumen mit den ihn bestimmenden Maßen verknüpft, etwa mit dem Radius einer Kugel oder mit Länge, Breite und Höhe eines Quaders.
Die Oberfläche, die hier zu jedem Körper neben dem Volumen ausgewiesen wird, ist die Gesamtfläche aller äußeren Flächen und gekrümmten Mantelflächen. Sie wird in Quadrateinheiten angegeben und mit einer eigenen Formel berechnet — beide Größen beschreiben daher verschiedene physikalische Eigenschaften und sind nicht austauschbar.
So verwenden Sie diesen Volumenrechner
- Wählen Sie im Auswahlfeld den Körper, dessen Volumen Sie bestimmen möchten.
- Geben Sie die verlangten Maße ein — etwa den Radius bei der Kugel oder Länge, Breite und Höhe beim Quader.
- Beim Kegelstumpf geben Sie den unteren Radius, den oberen Radius (radius2) sowie die senkrechte Höhe zwischen den beiden Kreisflächen ein.
- Bei der quadratischen Pyramide geben Sie die Grundkantenlänge im Feld Länge sowie die senkrechte Höhe von der Grundfläche zur Spitze ein.
- Lesen Sie Volumen und Oberfläche ab; beide werden bei jeder Änderung der Maße sofort aktualisiert.
Die Formel hinter dem Volumen jedes Körpers
Die Volumenformel jedes Körpers leitet sich aus der Integralrechnung her (durch Integration der Querschnittsfläche entlang der Höhe beziehungsweise des Radius), lässt sich für diese Standardformen jedoch auf einen einfachen geschlossenen Ausdruck zurückführen.
Häufige Fehler
- Den Durchmesser statt des Radius eingeben: bei Kugel und Halbkugel fällt das Volumen um den Faktor 8 zu groß aus, bei Zylinder und Kegel um den Faktor 4, da deren Volumen von r² und nicht von r³ abhängt.
- Die Kantenlänge des Würfels mit den voneinander unabhängigen Maßen Länge, Breite und Höhe eines Quaders verwechseln.
- Beim Kegelstumpf den oberen Radius (radius2) größer als den unteren eingeben, ohne sich über die Zuordnung der Flächen im Klaren zu sein — die Formel ist zwar symmetrisch, die Beschriftung legt jedoch die Ausrichtung fest.
- Einheiten vermischen, etwa die Höhe in Fuß und den Radius in Zoll eingeben, was zu einem falschen Ergebnis führt.
- Annehmen, Volumen und Oberfläche skalierten gleichermaßen — verdoppelt man den Radius einer Kugel, so verachtfacht sich das Volumen, während sich die Oberfläche lediglich vervierfacht.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?
Das Volumen einer Kugel beträgt (4/3) × π × Radius³. Eine Kugel mit dem Radius 3 hat daher das Volumen (4/3) × π × 27 ≈ 113,0973 Kubikeinheiten.
Wie groß ist das Volumen eines Zylinders?
Das Volumen eines Zylinders beträgt π × Radius² × Höhe. Ein Zylinder mit dem Radius 3 und der Höhe 5 hat somit das Volumen π × 9 × 5 ≈ 141,3717 Kubikeinheiten.
Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?
Das Volumen eines Kegels beträgt ein Drittel von π × Radius² × Höhe. Ein Kegel mit dem Radius 3 und der Höhe 5 hat daher das Volumen (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47,1239 Kubikeinheiten — also genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe.
Wie groß ist das Volumen eines Quaders?
Das Volumen eines Quaders beträgt Länge × Breite × Höhe. Ein Quader mit den Maßen 4 × 3 × 5 hat somit das Volumen 4 × 3 × 5 = 60 Kubikeinheiten.
Wie berechnet man das Volumen eines Kegelstumpfs?
Das Volumen eines Kegelstumpfs beträgt (1/3) × π × Höhe × (r₁² + r₁r₂ + r₂²), wobei r₁ und r₂ die Radien der beiden Kreisflächen bezeichnen. Ein Kegelstumpf mit dem unteren Radius 3, dem oberen Radius 2 und der Höhe 5 hat daher das Volumen (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99,4838 Kubikeinheiten.
Warum weist der Rechner zusätzlich die Oberfläche aus?
Volumen und Oberfläche sind beide gebräuchliche Kenngrößen eines Körpers und werden häufig gemeinsam benötigt — etwa das Volumen für das Fassungsvermögen und die Oberfläche für den Material- oder Beschichtungsbedarf —, weshalb beide aus denselben eingegebenen Maßen berechnet werden.
Worin unterscheiden sich die Formeln für Kugel und Halbkugel?
Dem Volumen nach ist eine Halbkugel genau die Hälfte einer Kugel: V = (2/3)πr³ gegenüber (4/3)πr³ bei der vollen Kugel. Ihre Oberfläche beträgt hingegen nicht einfach die Hälfte der Kugeloberfläche, da sie zusätzlich die ebene Kreisfläche umfasst: O = 3πr² (2πr² gekrümmt zuzüglich πr² eben) gegenüber 4πr² bei der vollen Kugel.
Quellenangaben
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).