Methode 1: Grundseite mal Höhe, geteilt durch 2
Die bekannteste Formel für die Dreiecksfläche lautet Fläche = 1/2 x Grundseite x Höhe, wobei die Höhe der senkrechte Abstand von der gewählten Grundseite zur gegenüberliegenden Ecke ist -- nicht die Länge einer schräg verlaufenden Seite. Diese Methode eignet sich immer dann, wenn eine Grundseite und ihre senkrechte Höhe entweder bekannt sind oder direkt gemessen werden können, was bei rechtwinkligen Dreiecken sowie bei Dreiecken auf einem Raster oder Diagramm mit eingezeichneter Höhe häufig der Fall ist.
Rechenbeispiel: Ein Dreieck hat eine Grundseite von 8 Einheiten und eine senkrechte Höhe von 5 Einheiten. Mit der Formel: Fläche = 1/2 x 8 x 5 = 1/2 x 40 = 20 Quadrateinheiten. Diese Methode erfordert keine Trigonometrie und keine Kenntnis der Dreieckswinkel oder der beiden übrigen Seitenlängen -- nur die als Grundseite gewählte Seite sowie die senkrecht dazu gemessene geradlinige Höhe.
Methode 2: die Heron-Formel, allein aus drei Seitenlängen
Sind nur die drei Seitenlängen eines Dreiecks bekannt -- ohne direkt gegebene Höhe und ohne Winkel --, berechnet die Heron-Formel die Fläche allein aus diesen drei Längen. Zunächst wird der halbe Umfang berechnet, s = (a + b + c) / 2, anschließend die Fläche als Quadratwurzel von s(s - a)(s - b)(s - c).
Rechenbeispiel: Ein Dreieck hat die Seiten a = 9, b = 10 und c = 11. Schritt 1: Der halbe Umfang ist s = (9 + 10 + 11) / 2 = 30 / 2 = 15. Schritt 2: Fläche = die Quadratwurzel von 15 x (15-9) x (15-10) x (15-11) = die Quadratwurzel von 15 x 6 x 5 x 4 = die Quadratwurzel von 1800, was etwa 42,4264 Quadrateinheiten entspricht. Vor Anwendung der Heron-Formel lohnt es sich zu prüfen, ob die drei Längen überhaupt ein Dreieck bilden können: Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen (die Dreiecksungleichung), was bei 9, 10 und 11 der Fall ist.
Methode 3: 1/2 x a x b x sin(C), aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
Sind zwei Seiten eines Dreiecks sowie der zwischen ihnen liegende Winkel (der eingeschlossene Winkel) bekannt -- jedoch keine senkrechte Höhe --, kommt die trigonometrische Flächenformel zur Anwendung: Fläche = 1/2 x a x b x sin(C), wobei a und b die beiden bekannten Seiten und C der zwischen ihnen liegende Winkel sind.
Rechenbeispiel: Ein Dreieck hat die Seiten a = 7 und b = 10 mit einem eingeschlossenen Winkel von C = 40 Grad. Mit der Formel: Fläche = 1/2 x 7 x 10 x sin(40 Grad) = 35 x sin(40 Grad). Da sin(40 Grad) etwa 0,6428 beträgt, ist die Fläche etwa 35 x 0,6428 = 22,4976 Quadrateinheiten. Diese Methode ist besonders nützlich bei Vermessungs- und Navigationsaufgaben, bei denen zwei gemessene Entfernungen und der zwischen ihnen liegende Winkel oft leichter direkt zu ermitteln sind als eine senkrechte Höhe.
Welche Methode sollten Sie verwenden?
Die drei Methoden sind keine konkurrierenden Ansätze für dasselbe Problem -- jede eignet sich für eine andere Kombination bekannter Größen, und die Wahl der zu den vorhandenen Daten passenden Methode erspart unnötige Zwischenschritte wie das vorherige Berechnen einer Höhe oder eines Winkels, die nicht direkt gegeben waren.
| Bekannte Größen | Beste Methode | Formel |
|---|---|---|
| Grundseite und senkrechte Höhe | Grundseite x Höhe / 2 | Fläche = 1/2 x Grundseite x Höhe |
| Alle drei Seitenlängen (SSS), kein Winkel bekannt | Heron-Formel | Fläche = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2 |
| Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) | Trigonometrische Formel | Fläche = 1/2 x a x b x sin(C) |
Häufige Fehler bei der Berechnung der Dreiecksfläche
Der häufigste Fehler bei der Grundseite-Höhe-Methode ist das Einsetzen einer schrägen Seitenlänge anstelle der senkrechten Höhe -- beide sind nur dann gleich, wenn das Dreieck zufällig an der Grundseite rechtwinklig ist; in allen anderen Fällen führt das Verwenden einer schrägen Seite zu einer überhöhten Flächenberechnung. Die Höhe muss stets entlang einer Linie gemessen werden, die senkrecht zur gewählten Grundseite verläuft, selbst wenn diese Linie keiner tatsächlich eingezeichneten Seite des Dreiecks entspricht.
Bei der trigonometrischen Methode besteht ein häufiger Fehler darin, einen Winkel zu verwenden, der nicht tatsächlich zwischen den beiden bekannten Seiten liegt -- die Formel Fläche = 1/2 x a x b x sin(C) erfordert, dass C genau der Winkel zwischen den Seiten a und b ist, nicht einer der beiden anderen Dreieckswinkel. Wird die Heron-Formel auf drei Längen angewendet, die gegen die Dreiecksungleichung verstoßen (bei denen eine Seite länger ist als die Summe der beiden anderen), müsste die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden -- ein Zeichen dafür, dass ein solches Dreieck nicht existiert.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel für die Fläche eines Dreiecks?
Die gebräuchlichste Formel lautet Fläche = 1/2 x Grundseite x Höhe, wobei die Höhe der senkrechte Abstand von der Grundseite zur gegenüberliegenden Ecke ist. Sind nur die drei Seitenlängen bekannt, liefert stattdessen die Heron-Formel die Fläche; sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, gilt Fläche = 1/2 x a x b x sin(C). Alle drei Formeln ergeben für dasselbe Dreieck dieselbe Fläche.
Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks nur aus den drei Seitenlängen?
Mit der Heron-Formel: Berechnen Sie zunächst den halben Umfang s = (a + b + c) / 2, dann Fläche = die Quadratwurzel von s(s-a)(s-b)(s-c). Für ein Dreieck mit den Seiten 9, 10 und 11 ist s = 15 und Fläche = die Quadratwurzel von (15 x 6 x 5 x 4) = die Quadratwurzel von 1800, etwa 42,4264 Quadrateinheiten.
Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks aus zwei Seiten und einem Winkel?
Mit der trigonometrischen Formel Fläche = 1/2 x a x b x sin(C), wobei a und b die beiden bekannten Seiten und C der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel sind. Für die Seiten 7 und 10 mit einem eingeschlossenen Winkel von 40 Grad ergibt sich Fläche = 1/2 x 7 x 10 x sin(40 Grad), etwa 22,4976 Quadrateinheiten.
Kann man die Fläche eines Dreiecks ohne Kenntnis der Höhe berechnen?
Ja. Sind nur die drei Seitenlängen bekannt, findet die Heron-Formel die Fläche ohne jede Höhenmessung. Sind zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt, kommt auch die trigonometrische Formel 1/2 x a x b x sin(C) ohne Höhe aus, da der Sinus des eingeschlossenen Winkels sie faktisch ersetzt.
Warum muss die Höhe in der Grundseite-Höhe-Formel senkrecht sein?
Die Grundseite-Höhe-Formel Fläche = 1/2 x Grundseite x Höhe leitet sich aus der Fläche eines Rechtecks mit derselben Grundseite und Höhe ab, das diagonal geteilt wird -- und diese Herleitung gilt nur, wenn die Höhe entlang einer zur Grundseite senkrechten Linie gemessen wird. Setzt man stattdessen eine schräge Seitenlänge anstelle der tatsächlichen senkrechten Höhe ein, entsteht eine falsche, überhöhte Fläche.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Triangle Area." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Geometry. Cengage Learning (triangle area formulas and the triangle inequality).
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (the trigonometric area formula, 1/2 ab sin C).