Was der Satz des Pythagoras aussagt
In jedem rechtwinkligen Dreieck -- einem Dreieck mit genau einem 90-Grad-Winkel -- entspricht das Quadrat der Länge der Hypotenuse (der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite) der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten, den Katheten. Als Formel geschrieben: a^2 + b^2 = c^2, wobei a und b die beiden Katheten und c die Hypotenuse sind. Die Beziehung ist nach dem antiken griechischen Mathematiker Pythagoras benannt, obwohl Belege zeigen, dass dieselbe numerische Beziehung unabhängig von jedem formalen Beweis bereits von babylonischen und anderen antiken Mathematikern lange vor Pythagoras bekannt war und genutzt wurde.
Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke in einer flachen (euklidischen) Ebene. Er gilt nicht für Dreiecke ohne rechten Winkel -- dafür ist stattdessen der allgemeinere Kosinussatz erforderlich -- und er gilt nicht exakt für Dreiecke auf einer gekrümmten Oberfläche, etwa einer Kugel, wo die Geometrie selbst eine andere ist.
Warum er gilt: ein klassischer Umordnungsbeweis
Einer der bekanntesten Nachweise des Satzes, oft Umordnungsbeweis genannt, verwendet vier identische Kopien desselben rechtwinkligen Dreiecks (mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c), die innerhalb eines einzigen großen Quadrats mit der Seitenlänge (a + b) angeordnet werden. Auf die eine Art angeordnet umgeben die vier Dreiecke ein kleineres, gekipptes inneres Quadrat mit der Seitenlänge c, sodass sich die Fläche des großen Quadrats in die vier Dreiecke plus dieses innere Quadrat aufteilt: (a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2, was sich zu (a + b)^2 = 2ab + c^2 vereinfacht.
Erweitert man die linke Seite algebraisch, ergibt sich (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Setzt man die beiden Ausdrücke für dieselbe Gesamtfläche gleich: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2. Zieht man auf beiden Seiten 2ab ab, bleibt a^2 + b^2 = c^2 -- der Satz des Pythagoras, hergeleitet allein aus dem Vergleich zweier Methoden zur Berechnung derselben Quadratfläche. Dieser spezielle Beweis ist nur einer von Hunderten, die im Laufe der Jahrhunderte veröffentlicht wurden; Elisha Loomis' Sammelwerk The Pythagorean Proposition verzeichnet 367 verschiedene Beweise des Satzes.
Pythagoreische Tripel: 3-4-5 und darüber hinaus
Ein pythagoreisches Tripel ist ein Satz von drei positiven ganzen Zahlen a, b und c, die a^2 + b^2 = c^2 exakt erfüllen, was bedeutet, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit diesen drei ganzzahligen Seitenlängen existiert, ohne dass gerundet werden muss. Das kleinste und bekannteste Tripel ist 3-4-5, da 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
Jedes ganzzahlige Vielfache eines bekannten Tripels ist ebenfalls ein gültiges Tripel -- zum Beispiel ergibt die Verdopplung von 3-4-5 das Tripel 6-8-10, und die Verdreifachung ergibt 9-12-15, beide erfüllen ebenfalls a^2 + b^2 = c^2. Tripel, die kein Vielfaches eines kleineren Tripels sind, wie 3-4-5, 5-12-13 und 8-15-17 unten, werden als primitive pythagoreische Tripel bezeichnet.
| Kathete a | Kathete b | Hypotenuse c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Reale Anwendungen: Diagonalen und Distanzen
Da die Diagonale eines Rechtecks zusammen mit zwei angrenzenden Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bildet, liefert der Satz des Pythagoras die Diagonalenlänge direkt: Diagonale = die Quadratwurzel von (Länge^2 + Breite^2). Ein Rechteck mit den Maßen 6 mal 8 Einheiten hat eine Diagonale von der Quadratwurzel von (6^2 + 8^2) = der Quadratwurzel von (36 + 64) = der Quadratwurzel von 100 = exakt 10 Einheiten -- das 6-8-10-Tripel, ein Vielfaches von 3-4-5.
Dasselbe Prinzip, auf drei Dimensionen erweitert, ergibt die Raumdiagonale eines Quaders, gefunden durch zweimalige Anwendung des Satzes: zunächst zur Bestimmung der Diagonale der Grundfläche, dann durch Kombination dieser Diagonale mit der Höhe des Quaders. Ein Quader mit den Maßen 12 mal 9 mal 8 Einheiten hat eine Raumdiagonale von der Quadratwurzel von (12^2 + 9^2 + 8^2) = der Quadratwurzel von (144 + 81 + 64) = der Quadratwurzel von 289 = exakt 17 Einheiten. Die Abstandsformel in Koordinaten, mit der der geradlinige Abstand zwischen zwei Punkten ermittelt wird, d = die Quadratwurzel von ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2), ist derselbe Satz, direkt angewendet auf die horizontalen und vertikalen Differenzen zwischen zwei Punkten: Für die Punkte (1,2) und (4,6) beträgt der Abstand die Quadratwurzel von (3^2 + 4^2) = die Quadratwurzel von 25 = 5.
Die Umkehrung: mit 3-4-5 einen rechten Winkel prüfen
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras gilt ebenfalls und wird in der Praxis häufig genutzt: Erfüllen drei gemessene Seitenlängen a^2 + b^2 = c^2, muss das von ihnen gebildete Dreieck einen rechten Winkel gegenüber der längsten Seite enthalten, selbst wenn dieser Winkel nie direkt gemessen wurde. Diese Umkehrung ist die Grundlage der traditionellen 3-4-5-Methode, mit der im Bauwesen und in der Zimmerei eine rechtwinklige (90-Grad-)Ecke geprüft oder eingerichtet wird: Misst man 3 Einheiten entlang der einen Kante, 4 Einheiten entlang der senkrechten Kante und bestätigt, dass die Diagonale zwischen diesen beiden markierten Punkten exakt 5 Einheiten beträgt, ist die Ecke als echter rechter Winkel bestätigt.
Dies funktioniert, weil die Umkehrung ein eindeutiges Ergebnis garantiert: Drei positive Längen, die a^2 + b^2 = c^2 erfüllen, können nur ein rechtwinkliges Dreieck bilden, niemals ein spitz- oder stumpfwinkliges, wobei der rechte Winkel stets gegenüber der längsten Seite, c, liegt. Jedes Vielfache des 3-4-5-Tripels -- etwa 6-8-10 oder 9-12-15 -- funktioniert bei der Prüfung größerer Ecken auf identische Weise.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel des Satzes des Pythagoras?
a^2 + b^2 = c^2, wobei a und b die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und c die Hypotenuse, die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, sind. Er gilt nur für rechtwinklige Dreiecke in einer flachen Ebene.
Wie beweist man den Satz des Pythagoras?
Bei einer klassischen Methode, dem Umordnungsbeweis, werden vier identische rechtwinklige Dreiecke innerhalb eines Quadrats mit der Seitenlänge (a + b) angeordnet, sodass sich die Gesamtfläche auf zwei verschiedene Arten berechnen lässt -- einmal als (a + b)^2 und einmal als die vier Dreiecke plus ein gekipptes inneres Quadrat der Fläche c^2. Setzt man diese beiden Flächenausdrücke gleich und vereinfacht algebraisch, ergibt sich a^2 + b^2 = c^2. Es wurden auch Hunderte alternativer Beweise veröffentlicht, darunter Elisha Loomis' Sammelwerk, das 367 davon dokumentiert.
Was ist ein pythagoreisches Tripel, und welches ist das kleinste?
Ein pythagoreisches Tripel ist ein Satz von drei positiven ganzen Zahlen a, b und c, die a^2 + b^2 = c^2 exakt erfüllen. Das kleinste und gebräuchlichste Tripel ist 3-4-5, da 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. Weitere gängige Tripel sind 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 und 9-40-41.
Wie nutzt man den Satz des Pythagoras, um die Diagonale eines Rechtecks zu finden?
Die Diagonale eines Rechtecks bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen beide Katheten die Länge und Breite des Rechtecks sind, also Diagonale = die Quadratwurzel von (Länge^2 + Breite^2). Ein 6-mal-8-Rechteck hat eine Diagonale von der Quadratwurzel von (36 + 64) = der Quadratwurzel von 100 = exakt 10 Einheiten.
Funktioniert der Satz des Pythagoras auf gekrümmten Oberflächen?
Nein. Der Satz gilt exakt nur für rechtwinklige Dreiecke auf einer flachen (euklidischen) Ebene. Auf einer gekrümmten Oberfläche, etwa der Oberfläche einer Kugel, werden die Beziehungen zwischen Winkeln und Seitenlängen von einer anderen, nicht-euklidischen Geometrie bestimmt, und a^2 + b^2 = c^2 gilt für ein Dreieck mit einem 90-Grad-Winkel nicht mehr exakt.
Wie nutzen Handwerker die 3-4-5-Regel, um einen rechten Winkel zu prüfen?
Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras muss der Winkel gegenüber der längsten Länge exakt 90 Grad betragen, wenn drei gemessene Längen a^2 + b^2 = c^2 erfüllen. Markiert man 3 Einheiten entlang einer Kante und 4 Einheiten entlang einer senkrechten Kante und bestätigt dann, dass der Abstand zwischen diesen beiden Punkten exakt 5 Einheiten beträgt, wird eine echte rechtwinklige Ecke bestätigt -- eine im Bauwesen und in der Zimmerei gängige Methode.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).