Gebräuchliche pythagoreische Zahlentripel
Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen, die a² + b² = c² genau erfüllen. Die folgende Tabelle führt die kleinsten und am häufigsten verwendeten Tripel auf.
| Kathete a | Kathete b | Hypotenuse c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
- Jedes ganzzahlige Vielfache eines pythagoreischen Tripels ist selbst wieder ein gültiges Tripel — so sind etwa 6-8-10 und 9-12-15 beide Vielfache von 3-4-5.
- Der Satz des Pythagoras gilt exakt allein für rechtwinklige Dreiecke in der ebenen (euklidischen) Geometrie; auf Dreiecke auf einer gekrümmten Fläche wie einer Kugel lässt er sich hingegen nicht anwenden.
Was besagt der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse (der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite) gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, die Katheten heißen: a² + b² = c². Er zählt zu den meistgenutzten Beziehungen der Geometrie, wird dem altgriechischen Mathematiker Pythagoras zugeschrieben und wurde in mehreren antiken mathematischen Überlieferungen unabhängig voneinander bewiesen.
Der Satz gilt ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke, also für Dreiecke mit genau einem Winkel von 90°. Er dient dazu, eine unbekannte Seite zu bestimmen, wenn die beiden anderen bekannt sind, und liegt der Abstandsformel, den trigonometrischen Beziehungen sowie unzähligen praktischen Messaufgaben in Bauwesen, Navigation und Technik zugrunde.
So verwenden Sie diesen Rechner zum Satz des Pythagoras
- Wählen Sie, was bestimmt werden soll: die Hypotenuse (bei gegebenen Katheten) oder eine fehlende Kathete (bei gegebener Hypotenuse und einer Kathete).
- Im Modus für die Hypotenuse geben Sie die Kathete a und die Kathete b ein.
- Im Modus für die fehlende Kathete geben Sie die bekannte Kathete (a) sowie die Hypotenuse (c) ein; die Hypotenuse muss dabei größer sein als die bekannte Kathete.
- Lesen Sie die fehlende Seite ab sowie Fläche und Umfang des Dreiecks, die aus allen drei Seiten berechnet werden.
Die Formel des Satzes von Pythagoras
Dieselbe Grundgleichung wird je nachdem umgestellt, welche Seite unbekannt ist.
Häufige Fehler
- Die Formel auf ein Dreieck anwenden, das nicht rechtwinklig ist — der Satz gilt nur, wenn ein Winkel genau 90° beträgt.
- Die Hypotenuse in a² + b² = c² einsetzen, als wäre sie eine Kathete, statt für eine fehlende Kathete c² − a² = b² zu lösen.
- Im Modus für die fehlende Kathete eine Kathete eingeben, die gleich groß oder größer als die Hypotenuse ist, was bei einem rechtwinkligen Dreieck geometrisch unmöglich ist.
- Nach dem Addieren beziehungsweise Subtrahieren der Quadrate das Ziehen der Quadratwurzel vergessen — der Satz liefert zunächst den quadrierten Wert.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel des Satzes von Pythagoras?
Sie lautet a² + b² = c², wobei a und b die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks bezeichnen und c die Hypotenuse, also die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.
Wie bestimmt man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks?
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der beiden Katheten: c = √(a² + b²). Für die Katheten 3 und 4 gilt daher c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Wie bestimmt man mit dem Satz des Pythagoras eine fehlende Kathete?
Ziehen Sie das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und nehmen Sie anschließend die Quadratwurzel: b = √(c² − a²). Bei einer Hypotenuse von 5 und einer bekannten Kathete von 3 ergibt sich b = √(25 − 9) = √16 = 4.
Was ist ein pythagoreisches Zahlentripel?
Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen a, b und c, die a² + b² = c² genau erfüllen, etwa 3-4-5, 5-12-13 oder 8-15-17.
Gilt der Satz des Pythagoras für alle Dreiecke?
Nein. Er gilt allein für rechtwinklige Dreiecke, also für solche mit genau einem Winkel von 90°. Für Dreiecke ohne rechten Winkel verwendet man stattdessen den Kosinussatz, der eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras darstellt.
Wie groß ist die Fläche eines rechtwinkligen 3-4-5-Dreiecks?
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt die Hälfte des Produkts seiner beiden Katheten: A = ½ × a × b. Für die Katheten 3 und 4 ergibt sich somit die Fläche ½ × 3 × 4 = 6 Quadrateinheiten bei einem Umfang von 3 + 4 + 5 = 12 Einheiten.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).