Flächenformeln nach Form
Die folgende Tabelle fasst die Standardformel und die erforderlichen Eingaben für jede unterstützte Form zusammen.
| Form | Flächenformel | Erforderliche Eingaben |
|---|---|---|
| Kreis | A = πr² | Radius r |
| Dreieck | A = ½ × Grundseite × Höhe | Grundseite, Höhe |
| Rechteck | A = Grundseite × Breite | Grundseite, Breite |
| Trapez | A = ½ × (a + b) × Höhe | parallele Seiten a, b, Höhe |
| Parallelogramm | A = Grundseite × Höhe | Grundseite, Höhe |
| Ellipse | A = π × a × b | Halbachsen a, b |
| Regelmäßiges Vieleck | A = ns² ÷ (4 tan(π/n)) | Seitenzahl n, Seitenlänge s |
| Kreissektor | A = ½ r²θ | Radius r, Winkel θ |
- Der Umfang einer Ellipse hat keine exakte geschlossene Form, sondern erfordert ein elliptisches Integral. Dieser Rechner verwendet Ramanujans zweite Näherung, deren Fehler selbst bei sehr langgestreckten Ellipsen unter etwa 0,02 % bleibt und bei nahezu kreisförmigen deutlich geringer ist.
- Die Dreiecksfläche aus Grundseite und Höhe (½ × Grundseite × Höhe) ist nur dann exakt, wenn die Höhe der senkrechte Abstand von der Grundseite zur gegenüberliegenden Ecke ist und nicht die Länge einer schrägen Seite.
- Für ein unregelmäßiges Vieleck oder für ein Dreieck, von dem allein die drei Seitenlängen bekannt sind, verwenden Sie stattdessen die Formel von Heron — siehe den Dreiecksrechner.
- Die Formel für das regelmäßige Vieleck setzt voraus, dass alle n Seiten und alle Innenwinkel gleich sind; auf unregelmäßige Vielecke lässt sie sich daher nicht anwenden.
Was ist die Fläche?
Die Fläche ist der Betrag des zweidimensionalen Raums, den der Rand einer Figur einschließt; sie wird in Quadrateinheiten gemessen (beispielsweise Quadratmeter oder Quadratfuß). Jede regelmäßige Form besitzt eine Formel, die ihre Fläche aus wenigen gemessenen Maßen herleitet, etwa aus dem Radius eines Kreises oder aus Grundseite und Breite eines Rechtecks.
Die hier behandelten acht Formen — Kreis, Dreieck, Rechteck, Trapez, Parallelogramm, Ellipse, regelmäßiges Vieleck und Kreissektor — decken jene Figuren ab, die in der Schulgeometrie, bei Massenermittlungen am Bau und bei alltäglichen Messaufgaben am häufigsten vorkommen. Jede von ihnen verwendet eine eigene Standardformel.
So verwenden Sie diesen Flächenrechner
- Wählen Sie im Auswahlfeld die Form, deren Fläche Sie bestimmen möchten.
- Geben Sie die für diese Form verlangten Maße ein — etwa den Radius beim Kreis oder Grundseite und Höhe beim Dreieck sowie beim Parallelogramm.
- Beim Trapez geben Sie beide parallelen Seiten (a und b) sowie die senkrechte Höhe zwischen ihnen ein.
- Beim regelmäßigen Vieleck geben Sie die Anzahl der Seiten (n) und die Länge einer Seite (a) ein; beim Sektor den Radius und den Mittelpunktswinkel in Grad.
- Lesen Sie die Fläche sowie das jeweilige Zusatzergebnis ab, etwa den Umfang oder die Bogenlänge; beide werden bei jeder Änderung der Werte sofort aktualisiert.
Die Formel hinter der Fläche jeder Form
Jede Form verwendet ihre eigene geschlossene Flächenformel. Der für einen Kreissektor eingegebene Winkel wird vor der Berechnung von Grad in Bogenmaß umgerechnet, da die Sektorformel im Bogenmaß definiert ist.
Häufige Fehler
- Beim Dreieck die Länge einer schrägen Seite statt der senkrechten Höhe eingeben, wodurch die berechnete Fläche zu groß ausfällt.
- Radius und Durchmesser bei Kreis oder Sektor verwechseln — die Formel verlangt den Radius, nicht den Durchmesser.
- Beim Sektor den Winkel im Bogenmaß eingeben, obwohl der Rechner Grad erwartet (0 bis 360°).
- Beim Trapez eine der nicht parallelen Seiten anstelle einer der beiden parallelen Seiten a und b eintragen.
- Annehmen, die Formel für regelmäßige Vielecke gelte auch für unregelmäßige Figuren mit ungleichen Seiten oder Winkeln.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnet man die Fläche eines Kreises?
Die Fläche eines Kreises ist gleich π mal dem Quadrat des Radius (A = πr²). Ein Kreis mit dem Radius 5 hat daher die Fläche π × 5² = π × 25 ≈ 78,5398 Quadrateinheiten.
Wie groß ist die Fläche eines Dreiecks?
Die Fläche eines Dreiecks beträgt die Hälfte der Grundseite mal der senkrechten Höhe (A = ½ × Grundseite × Höhe). Ein Dreieck mit der Grundseite 4 und der Höhe 3 hat somit die Fläche ½ × 4 × 3 = 6 Quadrateinheiten.
Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes?
Die Fläche eines Trapezes ist gleich der halben Summe seiner beiden parallelen Seiten, multipliziert mit der senkrechten Höhe zwischen ihnen: A = ½ × (a + b) × Höhe. Bei den parallelen Seiten 3 und 5 sowie der Höhe 4 ergibt sich die Fläche ½ × (3 + 5) × 4 = 16 Quadrateinheiten.
Wie groß ist die Fläche eines regelmäßigen Vielecks?
Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks beträgt n × s² ÷ (4 × tan(π/n)), wobei n die Anzahl der Seiten und s die Seitenlänge bezeichnet. Ein regelmäßiges Sechseck (n = 6) mit der Seitenlänge 4 hat daher die Fläche (6 × 4²) ÷ (4 × tan(30°)) ≈ 41,5692 Quadrateinheiten.
Wie wird die Fläche einer Ellipse berechnet?
Die Fläche einer Ellipse ist gleich π mal dem Produkt ihrer beiden Halbachsen: A = π × a × b, wobei a und b die große und die kleine Halbachse bezeichnen. Eine Ellipse mit den Halbachsen 3 und 5 hat somit die Fläche π × 3 × 5 ≈ 47,1239 Quadrateinheiten.
Wie groß ist die Fläche eines Kreissektors?
Die Fläche eines Sektors beträgt das halbe Quadrat des Radius mal dem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß: A = ½r²θ. Ein Sektor mit dem Radius 5 und einem Mittelpunktswinkel von 60° (θ = π/3 im Bogenmaß) hat daher die Fläche ½ × 25 × (π/3) ≈ 13,0900 Quadrateinheiten.
Gibt der Rechner neben der Fläche auch den Umfang aus?
Ja, bei allen Formen, für die sich der Umfang aus den eingegebenen Größen eindeutig bestimmen lässt — Rechteck, Ellipse, regelmäßiges Vieleck und Sektor — liefert der Rechner zusätzlich den Umfang (beim Kreis den Kreisumfang und beim Sektor die Bogenlänge).
Quellenangaben
- NIST Handbook 44 / NIST Guide to the SI — standard geometric unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Regular Polygon." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).