標準偏差の結果を読み解く
おおよそ正規分布（釣鐘型）のデータでは、経験則により、平均から一定の標準偏差の範囲にどれだけのデータが収まるかがわかります。
| 平均を中心とした区間 | データのおおよその割合（正規分布の場合） |
|---|---|
| 標準偏差1個以内 | 約68% |
| 標準偏差2個以内 | 約95% |
| 標準偏差3個以内 | 約99.7% |
- 68-95-99.7の経験則は、おおよそ正規分布のデータに当てはまります。強く歪んだデータや裾の重いデータでは、これらの割合から大きく外れることがあります。
- データがより大きな母集団を推測するために使う標本である場合は標本の形（n - 1）を、データが関心の対象となる母集団全体である場合にのみ母集団の形（n）を使ってください。
- 標準偏差は偏差を2乗するため外れ値の影響を受けやすく、1つの極端な値がそれを大きく押し上げることがあります。
- この計算機は少なくとも2つの値を必要とします。1つの観測値からは散らばりを推定できないためです。
標準偏差とは
標準偏差は、データの値が平均からどれくらい典型的に離れているかを数値化したものです。標準偏差が小さいほど、値は平均の周りに密集していることを意味し、大きいほど広く散らばっていることを意味します。データと同じ単位で表されるため、分散（標準偏差の2乗）よりも解釈しやすいという特徴があります。
重要なポイントは、標本の形と母集団の形の違いです。母標準偏差（σ）は、偏差の2乗の合計をnで割ったもので、データ集合が関心の対象となる母集団全体である場合——たとえば、特定の1クラスの全生徒の試験の点数——にのみ正しくなります。標本標準偏差（s）は代わりにn - 1で割るもので、データがより大きな母集団の散らばりを推定するために使われる標本である場合に正しくなります。
n - 1で割ることはベッセルの補正と呼ばれます。標本平均は同じデータから計算されるため、その周りの偏差は、真の（未知の）母平均の周りの偏差よりも体系的にわずかに小さくなります。nではなくn - 1で割ることでこの偏りを補正し、標本分散を母分散の不偏推定量にします。この補正は標本が小さいときに最も重要であり、nが大きくなるにつれて無視できるほど小さくなります。
この標準偏差計算機の使い方
- 少なくとも2つの数値をセミコロンで区切って入力します。例：10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16。
- データがより大きな母集団からの標本である場合——調査や実験、品質検査における通常のケース——には、標本標準偏差（s）を確認します。
- データが関心の対象となる母集団全体である場合には、母標準偏差（σ）を確認します。
- 平均・標本分散・個数を使って計算を検算したり、信頼区間やzスコアなどのさらなる分析に活用したりします。
標準偏差の公式
どちらの形も最初は同じ手順です。平均を計算し、各値から平均を引き、各偏差を2乗して、それらを合計します。母集団の形はその合計をnで割って平方根を取り、標本の形はn - 1で割って平方根を取ります。
計算例：2、4、4、4、5、5、7、9という値。手順1——平均：(2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5。手順2——偏差の2乗：9、1、1、1、0、0、4、16であり、合計は32。手順3（母集団）——32 / 8 = 4、sqrt(4) = 2。手順4（標本）——32 / 7 = 4.571429（標本分散）、sqrt(4.571429) = 2.13809（四捨五入）。
同じデータでは、標本の値は母集団の値よりも常にわずかに大きくなります。より小さい数で割るためです。ただし、すべての値が同一の場合はどちらも0となり、例外となります。この差は標本が大きくなるにつれて縮まります。
よくある間違い
- 標本データに母集団の公式（nで割る）を使う——これは標本が抽出された母集団の散らばりを体系的に過小評価します。標本にはn - 1で割ってください。
- 分散と標準偏差を混同する——分散は標準偏差の2乗であり、単位も2乗で表されます。
- 明らかに歪んでいたり裾の重いデータに68-95-99.7ルールを当てはめる——そこでは成り立ちません。
- 異なる単位や大きく異なる尺度で測定されたデータ集合の標準偏差を、標準化せずに比較する（相対的な散らばりには、平均で割る変動係数を使います）。
よくある質問
標本標準偏差と母標準偏差の違いは何ですか。
母標準偏差は偏差の2乗の合計をnで割ったもので、データが母集団全体である場合に正しくなります。標本標準偏差はn - 1（ベッセルの補正）で割ったもので、データがより大きな母集団の散らばりを推定するために使われる標本である場合に正しくなります。同じデータでは標本の値は常にわずかに大きく（すべての値が同一ならどちらも0）、標本サイズが大きくなるにつれてその差は小さくなります。
なぜnではなくn - 1で割るのですか。
標本平均は同じデータから計算されるため、その周りで観測される偏差は、真の母平均の周りの偏差よりも体系的にわずかに小さくなります。nではなくn - 1で割ることでこの偏りを補正し、標本分散を母分散の不偏推定量にします。この調整はベッセルの補正と呼ばれます。
標準偏差を手計算するにはどうすればよいですか。
まず平均を求めます。次に各値から平均を引き、それぞれを2乗して合計します。標本の場合はこの合計をn - 1で割り、母集団の場合はnで割ります。最後に平方根を取ります。例：2、4、4、4、5、5、7、9の場合、平均は5、偏差の2乗の合計は32であり、標本標準偏差はsqrt(32 / 7) = 2.138（四捨五入）です。
標準偏差が0とはどういう意味ですか。
データ集合のすべての値が同一であり、まったく散らばりがないことを意味します。標準偏差が大きいほど、値は典型的に平均から離れています。標準偏差が負になることはありません。
68-95-99.7ルールとは何ですか。
おおよそ正規分布（釣鐘型）のデータでは、値の約68%が平均から標準偏差1個以内に、約95%が2個以内に、約99.7%が3個以内に収まります。このルールは、ある観測値が異常かどうかを素早く判断する手段ですが、分布がほぼ正規分布である場合にのみ信頼できます。
分散と標準偏差は同じものですか。
いいえ。分散は平均からの偏差の2乗の平均であり、標準偏差はその平方根です。分散は2乗された単位（たとえばcmで測定したデータならcm^2）で表されるため、散らばりを説明する際には、元の単位である標準偏差の方が通常用いられます。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.