中央値・最頻値・範囲を読み解く
それぞれの統計量は、データの異なる側面を表します。下の表は、それぞれが何を示すかをまとめたものです。
| 統計量 | 何を表すか | 外れ値への感度 |
|---|---|---|
| 中央値 | 並べ替えたデータの真ん中。値の50%はこれ以下に位置する | 低い——値の順序のみに依存する |
| 最頻値 | 最も頻繁に現れる値（複数の場合もある）。分布の山にあたる | 低い——極端な値の影響を受けない |
| 範囲 | 最小値から最大値までの全体的な広がり | 高い——両端の2つの値だけで決まる |
- 平均が中央値よりも明らかに大きい場合、データは通常右に歪んでいます（所得のように大きな値の裾が伸びている）。平均が中央値より小さい場合は左に歪んでいることを示唆します。
- データ集合には最頻値がない場合（すべての値が異なる）、1つだけある場合、複数ある場合があります。この計算機は、最も高い頻度で並ぶすべての値を列挙します。
- 標本の中央値は母集団の中央値を推定するものですが、すべての標本統計量と同様、標本抽出のばらつきの影響を受けます。
中央値・最頻値・範囲とは
中央値とは、並べ替えたデータ集合を半分に分ける値のことです。求めるには、値を小さい順に並べます。値の個数が奇数なら中央値はただ1つの真ん中の値であり、偶数なら真ん中の2つの値の算術平均になります。中央値はデータの順序のみに依存し、極端な値の大きさには依存しないため、外れ値に対して頑健です。
最頻値とは、データの中で最も頻繁に現れる値（複数の場合もあります）のことです。データ集合には最頻値が1つだけの場合もあれば、複数ある場合（たとえば2つの山を持つ二峰性のデータ）、あるいはすべての値がちょうど1回ずつしか現れず最頻値が存在しない場合もあります。最頻値は、カテゴリカルデータにも適用できる唯一の中心指標です。
範囲とは、最大値と最小値の差のことです。ばらつきを表す最も単純な指標ですが、両端の2つの観測値だけを使うため外れ値の影響を非常に受けやすく、標準偏差や四分位範囲の方が、より頑健にばらつきを表します。
この中央値計算機の使い方
- 数値をセミコロンで区切って入力します。例：7; 12; 3; 9; 21; 14。計算機が自動で並べ替えます。
- 中央値を確認します。値の個数が偶数の場合、並べ替えたリストの真ん中の2つの値の平均になります。
- 最頻値を確認します。最も頻繁に現れる値（複数の場合もあります）です。値が1つも繰り返されない場合、最頻値が存在しないことを示すダッシュが表示されます。
- 範囲を確認します。最大値マイナス最小値であり、データがどれだけ広がっているかを素早く示します。
中央値・最頻値・範囲の計算方法
中央値：n個の値を並べ替えます。nが奇数の場合、中央値は(n + 1) / 2番目の位置にある値です。nが偶数の場合、中央値はn/2番目とn/2 + 1番目の値の平均です。
計算例：7、12、3、9、21、14という値。並べ替えると：3、7、9、12、14、21。値の個数はn = 6（偶数）なので、中央値は3番目と4番目の値の平均：(9 + 12) / 2 = 10.5です。同じ値は繰り返されないため、最頻値はありません。範囲は21 - 3 = 18です。
最頻値がある場合の例：2、4、4、7、9。並べ替えると真ん中（3番目）の値は4なので、中央値は4です。値4は2回現れ、他の値はすべて1回ずつなので、最頻値は4です。範囲は9 - 2 = 7です。
よくある間違い
- 真ん中の値を探す前にデータを並べ替え忘れる——中央値は並べ替えたリストに対して定義されます。
- 個数が偶数のとき、真ん中の2つの値の平均ではなく片方だけを取ってしまう——3、7、9、12、14、21の場合、中央値は10.5であり、9でも12でもありません。
- すべてのデータ集合に最頻値があると思い込む——同じ値が1つも繰り返されない場合、最頻値は存在しません。
- 範囲をばらつきの頑健な指標として使う——範囲は最も極端な2つの値だけに依存し、その間のすべての値を無視します。
よくある質問
データ集合の中央値はどう求めますか。
値を小さい順に並べ替えます。個数が奇数なら中央値は真ん中の値です。個数が偶数なら中央値は真ん中の2つの値の平均です。たとえば7、12、3、9、21、14の場合、並べ替えると3、7、9、12、14、21となり、中央値は(9 + 12) / 2 = 10.5です。
中央値が平均より優れているのはどのようなときですか。
データが歪んでいる場合や外れ値を含む場合です。中央値は値の順序のみに依存するため、1つの極端な観測値があってもほとんど動きませんが、平均は大きく変動することがあります。所得や住宅価格は、この理由から通常中央値で要約されます。
データ集合に最頻値が複数存在することはありますか。
はい。2つ以上の値が最高頻度で並んでいる場合、そのデータ集合は多峰性であり、並んだ値すべてが最頻値となります。たとえば1、2、2、5、7、7、9では2と7がそれぞれ2回現れるため、最頻値2と7を持つ二峰性のデータです。同じ値が1つも繰り返されない場合、そのデータ集合に最頻値はありません。
範囲は何を教えてくれますか。
範囲は最大値マイナス最小値であり、データ全体の広がりを表します。計算が速く解釈も容易ですが、両端の2つの極端な値しか使わないため、1つの外れ値によって大きく膨らむことがあります。ばらつきをより全体的に把握するには、標準偏差や四分位範囲を使ってください。
中央値は常に実際のデータの値ですか。
常にそうとは限りません。値の個数が奇数のとき、中央値は観測された値のうちの1つです。個数が偶数のとき、中央値は真ん中の2つの値の平均であり、データの中には存在しないことがあります——たとえば3、7、9、12、14、21というリストの中央値10.5は、6つの観測値のいずれでもありません。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.