Zスコアの公式:値を標準化する
Zスコア(標準得点とも呼ばれる)は、生の値を、その値が分布の平均からどれだけ離れているかを示す指標に変換するものであり、元の単位ではなく標準偏差の単位で表される。公式はz = (x - 平均) / 標準偏差であり、xは標準化される値である。Zスコアが0であれば、その値は平均とちょうど等しいことを意味する。正のZスコアは値が平均より上にあることを意味し、負のZスコアは値が平均より下にあることを意味する。
このように値を標準化することで、異なる尺度や異なる分布から得られた測定値を比較できるようになる——例えば、平均や散らばりの異なる2つの異なるテストにおける学生の成績を比較する場合や、個々の検査結果を基準範囲と比較する場合などである。Zスコアは元の単位と元の尺度の両方を取り除くため、Zスコアが+1であることは、それがどの分布から得られたものであっても常に同じ相対的な意味を持つ(その分布の平均より標準偏差1つ分上にある)。
「平均より標準偏差2つ分上」とはどういう意味か?
ある値が平均より標準偏差2つ分上にあるというのは、単にそのZスコアが+2であることの別の言い方である:その値は、分布の標準偏差の2倍に相当する量だけ、典型的な観測値よりも平均から離れている。標準偏差はデータの典型的な散らばりを測定するものであるため、Zスコアが2以上(または-2以下)であることは、慣例的に珍しいとみなされる。これは、ほぼ正規分布のデータにおいて、中心からそれほど離れた位置に落ちる観測値が比較的少ないためである。
この表現は、分布内での位置を単に記述しているだけであり、それ自体では平均より標準偏差2つ分上にあることが良いか悪いか中立かを述べるものではない。試験の点数の分布における+2のZスコアは一般に優れた結果を示すが、血圧の分布における+2のZスコアは一般に典型的な値を大きく上回り、臨床的な注意を要する読み取り値を示す。Zスコアは平均からの距離を報告するものであり、その距離が何を意味するかの解釈は、常に何が測定されているかに依存する。
標準正規分布とパーセンタイル
基礎となるデータがほぼ正規分布(釣鐘型)である場合、Zスコアは標準正規累積分布関数を用いてパーセンタイルに変換できる。これは、与えられたZスコアより下にある分布の割合を示すものである。この変換によって、Zスコアを「この値は分布の約X%より高い」と言い換えることができるようになる。以下の表は、-2から+3までの整数のZスコアに対応する、標準的で確立されたパーセンタイルを示している。
| Zスコア | パーセンタイル(下にある分布の割合) | 上にある割合 |
|---|---|---|
| -2 | 2.28% | 97.72% |
| -1 | 15.87% | 84.13% |
| 0 | 50.00% | 50.00% |
| +1 | 84.13% | 15.87% |
| +2 | 97.72% | 2.28% |
| +3 | 99.87% | 0.13% |
計算例:生の点数をパーセンタイルに変換する
平均100、標準偏差15の分布(IQスコアに用いられる古典的な尺度)から得られたx = 130という値を考える。ステップ1:Zスコアを計算する、z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2。ステップ2:標準正規分布でz = 2を調べると、97.72パーセンタイルに相当し、これは分布の約97.72%が130以下の値であり、約2.28%がそれを上回ることを意味する。
同じ尺度を用いたもう1つの例:x = 85という値はz = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1となり、15.87パーセンタイルに相当する——これはこの値が分布の約84.13%を下回り、約15.87%を上回る位置にあることを意味する。どちらの場合も、計算全体は2つのステップに帰着する:値をZスコアに標準化し、標準正規分布から対応するパーセンタイルを読み取る。
68-95-99.7経験則
ほぼ正規分布のデータでは、経験則(68-95-99.7ルールと呼ばれることもある)を使うと、完全なパーセンタイル検索を行わずにZスコアがどれほど珍しいかを素早く判断できる:値の約68%は平均から標準偏差1つ分以内に収まり(Zが-1から+1の間)、約95%は標準偏差2つ分以内に収まり(Zが-2から+2の間)、約99.7%は標準偏差3つ分以内に収まる(Zが-3から+3の間)。
このルールは上記のパーセンタイル表から直接導かれる:z = -1からz = +1の間の割合は84.13% - 15.87% = 68.26%であり、z = -2からz = +2の間の割合は97.72% - 2.28% = 95.44%であり、z = -3からz = +3の間の割合は99.87% - 0.13% = 99.74%である——いずれも一般的に引用される68%、95%、99.7%という近似値と整合している。このルールは基礎となる分布がほぼ正規分布である場合にのみ適用される。歪んだ分布や裾の重い分布では、Zスコア自体は計算できるものの、これらの割合から大きく外れることがある。
よくある質問
Zスコアはどのように計算するか?
値から平均を引き、その結果を標準偏差で割る:z = (x - 平均) / 標準偏差。例えば、平均100、標準偏差15の尺度における130という値はz = (130 - 100) / 15 = 2となり、その値が平均より標準偏差2つ分上にあることを意味する。
Zスコア2に相当するパーセンタイルは?
約97.72パーセンタイルである。標準正規分布では、値の約97.72%がZスコア2以下に位置する。これは、そのZスコアを持つ値が分布の約97.72%より高く、約2.28%より低いことを意味する。ただし、これは基礎となるデータがほぼ正規分布であることを前提とする。
平均より標準偏差2つ分上にあるとはどういう意味か?
その値のZスコアが+2であることを意味する:それは、分布の標準偏差の2倍に相当する量だけ、典型的な観測値よりも平均を上回っている。ほぼ正規分布のデータでは、分布の約97.72%がこの値以下に位置するため、これは比較的珍しい結果となる——ただし、それが望ましいかどうかは何が測定されているかに完全に依存する。
Zスコアの計算にはデータが正規分布である必要があるか?
Zスコアの計算自体、z = (x - 平均) / 標準偏差は、任意の分布に対して定義され、正規性を必要としない。しかし、上記の例のように、標準正規分布を用いてZスコアをパーセンタイルに変換するのは、基礎となるデータがほぼ正規分布(釣鐘型)である場合にのみ正確である。歪んだ分布や裾の重い分布では、パーセンタイルはデータから直接読み取るべきである。
68-95-99.7ルールとは何か?
これは、ほぼ正規分布において、平均から標準偏差1つ分、2つ分、3つ分以内にどれだけの割合が収まるかを示す略式表現である:標準偏差1つ分以内に約68%(Zが-1から+1の間)、2つ分以内に約95%(Zが-2から+2の間)、3つ分以内に約99.7%(Zが-3から+3の間)である。これは、完全なパーセンタイル検索を行わずに、ある値がどれほど珍しいかを素早く判断する方法を提供する。
参考文献
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).