カイ二乗検定の結果の読み方
下の表は、よく使われる自由度について、慣例的な有意水準 α = 0.05 における標準的なカイ二乗臨界値をまとめたものです。観測されたχ²統計量が表の値を上回れば、期待される分布からの統計的に有意なずれがあることを示します。
| 自由度 (df) | α = 0.05 の臨界χ² |
|---|---|
| 1 | 3.841 |
| 2 | 5.991 |
| 3 | 7.815 |
| 4 | 9.488 |
| 5 | 11.070 |
| 6 | 12.592 |
| 8 | 15.507 |
| 10 | 18.307 |
- 標準的な統計学の教科書で広く用いられる目安として、すべての期待度数が5以上であればカイ二乗近似は信頼できるとされます。期待度数がそれより小さい場合は、正確検定のほうが適切です。
- この計算ツールが行うのは適合度検定のみで、1つのカテゴリ変数を仮定した分布と比較します。2つのカテゴリ変数の独立性を調べるカイ二乗独立性検定は行いません。後者は行と列から期待度数を求める別の計算になります。
- 観測度数と期待度数のリストは同じ長さでなければならず、カテゴリは2つ以上、期待度数はすべて厳密に正である必要があります。
- 統計的に有意な結果は、カテゴリが仮定した比率と異なることを示しますが、どのカテゴリがずれているのか、また実務上どれほど大きな差なのかまでは示しません。
カイ二乗適合度検定とは
カイ二乗適合度検定は、複数のカテゴリにおける観測度数を、仮定した分布のもとで期待される度数と比較し、両者のずれの大きさを測る検定です。この計算ツールが行うのは適合度検定のみ、つまり1つのカテゴリ変数を想定した比率と照合するものであり、分割表で2つのカテゴリ変数の関連を調べるカイ二乗独立性検定は扱いません。
検定統計量は、すべてのカテゴリについて観測度数と期待度数の差を2乗し、期待度数で割った値を合計したものです。期待度数に対する差が大きいほどχ²の値も大きくなり、仮定した分布に反する証拠が強くなります。
χ²は常に0以上の値をとるため、この検定は本質的に片側です。適切な自由度のカイ二乗分布に照らして異常に大きいχ²だけが「適合が悪い」証拠と扱われ、「負の方向」に相当する検定は存在しません。
このカイ二乗検定計算ツールの使い方
- 各カテゴリの観測度数をセミコロン区切りで入力します(例: 30; 25; 22; 23)。
- 同じカテゴリの期待度数を、同じ順序でセミコロン区切りで入力します(例: 25; 25; 25; 25)。
- 2つのリストの要素数が同じ(カテゴリは2つ以上)で、すべての期待度数が0より大きいことを確認します。
- χ²統計量、自由度(カテゴリ数から1を引いた値)、p値を確認し、p値を選んだ有意水準(一般には α = 0.05)と比較します。
カイ二乗適合度検定の計算式
カイ二乗統計量は χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ で、k個すべてのカテゴリについて合計します。Oᵢ はカテゴリ i の観測度数、Eᵢ は期待度数です。自由度はカテゴリ数より1少ない k − 1 となります。
p値は、仮定した(期待)分布が正しいとした場合に、与えられた自由度のカイ二乗分布のもとで、算出されたχ²以上の値が観測される確率です。
計算例: 観測度数 30, 25, 22, 23 に対し、期待度数はいずれも25とします。χ² = (30−25)²/25 + (25−25)²/25 + (22−25)²/25 + (23−25)²/25 = 1 + 0 + 0.36 + 0.16 = 1.52、自由度は df = 4 − 1 = 3 です。これは自由度3・α = 0.05 における臨界値 7.815 を大きく下回るため、統計的に有意ではありません。
よくある間違い
- 本当に知りたいのが2つのカテゴリ変数の関連であるのに、この適合度検定を使ってしまうこと。その場合は、観測と期待の1本のリストではなく、分割表で期待度数を求めるカイ二乗独立性検定が必要です。
- 期待度数の目安を無視すること。期待度数が小さい(いずれかのカテゴリで5未満というのが一般的な目安)場合、カイ二乗近似は信頼できなくなり、正確検定のほうが適切になります。
- 観測度数と期待度数のリストの長さを揃えなかったり、両者でカテゴリの並び順を変えてしまったりすること。比較の対応がずれてしまいます。
- 期待度数に0を入力すること。そのカテゴリの (O − E)² / E の項が定義できなくなります。
- 統計的に有意なχ²を「大きく重要な差」の証拠と受け取ること。有意性はずれが偶然によるものとは考えにくいことを示すだけで、実務上大きいことを意味しません。
よくある質問
カイ二乗適合度検定は何に使いますか?
複数のカテゴリにおける観測度数が、仮定した分布の期待度数と一致するかどうかを検定します。たとえば、サイコロの出目の頻度が期待される一様分布と一致するかを調べたり、アンケートの回答が想定した比率と合っているかを確認したりする場面で使います。
カイ二乗統計量はどう計算しますか?
χ² = Σ (観測度数 − 期待度数)² / 期待度数 を、すべてのカテゴリについて合計します。観測度数と期待度数のずれが、とくに期待度数に対して相対的に大きいほど、χ²の値も大きくなります。
適合度検定の自由度はいくつですか?
自由度はカテゴリ数から1を引いた値です (df = k − 1)。このページの計算例のようにカテゴリが4つなら、df = 3 となります。
なぜ期待度数は5以上必要なのですか?
検定統計量の分布がカイ二乗分布でうまく近似できるのは、期待度数が小さすぎない場合に限られるためです。よく引用される目安では、すべての期待度数が5以上であることが求められます。それを下回るとカイ二乗近似によるp値が不正確になりうるため、正確検定が推奨されます。
これはカイ二乗独立性検定と同じものですか?
いいえ。この計算ツールが行うのは適合度検定で、1つのカテゴリ変数の観測度数を仮定した分布と比較します。独立性検定は2つのカテゴリ変数に関連があるかどうかを調べるもので、行と列の合計から期待度数を計算する分割表を用いる、別の計算です。
参考文献
- Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5, 1900; 50(302): 157-175.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — chi-square goodness-of-fit test. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (chi-square goodness-of-fit test and expected-count guidelines).
- Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. Iowa State University Press (chi-square goodness-of-fit test).
- Agresti A. Categorical Data Analysis. Wiley (chi-square goodness-of-fit and independence tests).