4つの結果を読み解く
下の表は、独立性を仮定した例P(A) = 50%、P(B) = 30%について、それぞれの出力を示しています。
| 結果 | 公式 | 例の値 |
|---|---|---|
| AとBの両方 | P(A) x P(B) | 0.5 x 0.3 = 15% |
| 少なくとも一方（AまたはB） | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0.5 + 0.3 - 0.15 = 65% |
| Aが起こらない | 1 - P(A) | 1 - 0.5 = 50% |
| どちらも起こらない | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0.5 x 0.7 = 35% |
- すべての結果は、AとBが独立であることを前提としています。事象が互いに影響し合う（従属である）場合、これらの公式は当てはまらず、条件付き確率が必要になります。
- 「少なくとも一方が起こる」と「どちらも起こらない」は互いに余事象の関係にあり、確率の合計は常に100%です。
- 確率は、多数回の繰り返しにおける長期的な頻度を表すものです。15%の確率とは、次の100回の試行のうちちょうど15回起こるという意味ではありません。
組み合わせた事象の確率とは
確率とは、0から1（または0%から100%）の間の数値で、ある事象がどれくらい起こりやすいかを表します。0は起こり得ないことを、1は確実に起こることを意味します。2つの事象をあわせて考えるとき、標準的な確率の規則によって、それぞれの確率が「両方が起こる」「少なくとも一方が起こる」といった組み合わせの結果の確率へとどう結びつくかが決まります。
この計算機は、2つの事象が独立であることを前提としています。つまり、一方が起こったと分かっても、他方が起こるかどうかについては何もわかりません。コイン投げや別々のサイコロを振ること、無関係な無作為抽出は、独立性の典型例です。独立である場合、両方の事象が起こる確率は、それぞれの確率の積になります：P(A and B) = P(A) x P(B)。
この独立性の前提は非常に重要であり、デフォルトで成り立つとみなすのではなく、実際の状況に照らして確認する必要があります。同じ山札から戻さずに2枚のカードを引く場合や、同じ日の2つの気象事象は従属です——最初の結果が2番目の確率を変えます——そのため積の規則を使うと、真の同時確率を過小または過大に評価してしまいます。従属事象には条件付き確率が必要です：P(A and B) = P(A) x P(B given A)。
この確率計算機の使い方
- 事象Aの確率を、0から100の間のパーセントで入力します。たとえば、公正なコインで表が出る確率なら50です。
- 事象Bの確率をパーセントで入力します。たとえば30です。
- 2つの事象が本当に独立であることを確認します——一方が起こることが、他方が起こる確率を変えてはいけません。ここで使われている公式は、その前提のもとでのみ有効です。
- 4つの組み合わせ確率を確認します：両方が起こる、少なくとも一方が起こる、Aが起こらない、どちらも起こらない、です。
独立事象の確率規則
乗法規則（両方が起こる）：独立事象では、P(A and B) = P(A) x P(B)です。余事象の規則：P(not A) = 1 - P(A)です。どちらも起こらない：P(neither) = (1 - P(A)) x (1 - P(B))であり、これは2つの余事象に乗法規則を適用したものです。少なくとも一方が起こる（包除原理）：P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)です。
計算例：P(A) = 50%、P(B) = 30%（0.5と0.3として計算）。両方：0.5 x 0.3 = 0.15 = 15%。少なくとも一方：0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65 = 65%。Aが起こらない：1 - 0.5 = 0.5 = 50%。どちらも起こらない：0.5 x 0.7 = 0.35 = 35%。整合性の確認として、「少なくとも一方」と「どちらも起こらない」は互いに余事象の関係にあります：65% + 35% = 100%。
「少なくとも一方」の公式でP(A and B)を引くのは、二重に数えることを防ぐためです。そうしなければ、両方の事象が起こる結果が、P(A)とP(B)でそれぞれ1回ずつ、合計2回数えられてしまいます。
よくある間違い
- 重なりを引かずに「AまたはB」の確率をそのまま足してしまう——P(A) + P(B)だけでは、両方が起こる結果を二重に数えてしまい、100%を超えることさえあります。
- 従属事象の確率を、あたかも独立であるかのように掛け合わせてしまう——戻さずにカードを引く場合が典型的な反例です。
- ギャンブラーの誤謬：独立な試行を、過去の結果が将来の確率を変えるかのように扱ってしまう——公正なコインが5回連続で表を出しても、次の1回で表が出る確率は依然として50%です。
- 「両方が起こる」と「少なくとも一方が起こる」を混同する——P(A) = 50%、P(B) = 30%の場合、これらはそれぞれ15%と65%であり、まったく異なる量です。
よくある質問
2つの事象が独立であるとはどういう意味ですか。
2つの事象は、一方が起こることが他方の確率を変えないとき独立です——形式的にはP(A and B) = P(A) x P(B)です。別々のコイン投げや無関係なサイコロの目は独立ですが、同じ山札から戻さずに2枚のカードを引く場合は独立ではありません。最初に引いたことで山札の構成が変わるためです。
両方の事象が起こる確率はどう計算しますか。
独立事象の場合、それぞれの確率を掛け合わせます：P(A and B) = P(A) x P(B)。たとえばP(A) = 50%、P(B) = 30%の場合、両方が起こる確率は0.5 x 0.3 = 0.15、すなわち15%です。この積の規則は、事象が独立である場合にのみ有効です。
少なくとも一方の事象が起こる確率はどう計算しますか。
包除原理を使います：P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)。50%と30%の独立事象の場合、0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65、すなわち65%です。同様に、どちらも起こらない確率を1から引いても求められます：1 - (0.5 x 0.7) = 0.65。
なぜ「AまたはB」の確率を、単純に2つ足すだけではいけないのですか。
両方の事象が起こる結果が、P(A)とP(B)でそれぞれ1回ずつ、合計2回数えられてしまうためです。50%と30%を足すと80%になりますが、独立事象での正しい答えは、重なりの15%を引いた65%です。単純な足し算が有効なのは、定義上両方が同時には起こり得ない排反事象の場合だけです。
事象が独立でない場合はどうなりますか。
その場合、これらの公式は当てはまりません。従属事象では、同時確率に条件付き確率を使います：P(A and B) = P(A) x P(B given A)。ここでP(B given A)は、Aが起こったとわかったうえでのBの確率です。たとえば、標準的な山札から戻さずに2枚のエースを引く確率は、(4/52) x (3/51)であり、(4/52) x (4/52)ではありません。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.