2つの計算式、小さいが重要な違い
母標準偏差と標本標準偏差の計算式は、どちらも同じ手順から始まる:データの平均を求め、各値から平均を引き、各偏差を二乗し、それらの二乗を合計する。両者が分かれるのは最後の除算のステップである。ギリシャ文字シグマで表される母標準偏差は、この偏差の二乗和を値の総数であるnで割ってから平方根を取る。sで表される標本標準偏差は、同じ二乗和をn-1で割ってから平方根を取る——この変更はベッセルの補正と呼ばれる。
n-1は(nが1より大きい場合)常にnより小さい除数であるため、標本標準偏差は同じ数値から計算された母標準偏差よりも常にわずかに大きくなる。この2つの計算式は同じ問いに対する競合する方法ではなく、同じデータについて異なる2つの問いに答えるものであり、誤った方を選ぶと、実際に尋ねようとしていた問いに対して系統的に偏った答えが生じる。
計算例:同じ8個の数値、2つの答え
データセット2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9(n=8)を考える。ステップ1:平均は(2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5。ステップ2:平均からの偏差は-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4であり、それぞれを二乗すると9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16となり、合計は32である。この単一の偏差二乗和から、2つの計算式は最後の除算でのみ分岐する。
母標準偏差:32をn=8で割ると母分散は4となり、4の平方根はちょうど2である。標本標準偏差:同じ32をn-1=7で割ると標本分散は32 / 7 = 4.571429(小数点以下6桁に丸め)となり、4.571429の平方根は約2.13809である。以下の表は、同じ出発点の合計から両方の計算を並べて示している。
| ステップ | 母集団形式(nで割る) | 標本形式(n-1で割る) |
|---|---|---|
| 偏差の二乗和 | 32 | 32 |
| 除数 | n = 8 | n - 1 = 7 |
| 分散 | 32 / 8 = 4 | 32 / 7 = 4.571429 |
| 標準偏差 | sqrt(4) = 2 | sqrt(4.571429) = 2.13809 |
なぜn-1で割るのか?ベッセルの補正を解説
偏差の計算に用いられる標本平均は、その散らばりを測定している対象と同じデータから計算されており、その特定の標本について偏差の二乗和を最小化する値であることが数学的に保証されている。これは、標本平均の周りで測定された二乗偏差が、真の未知の母平均の周りで測定される二乗偏差よりも平均してわずかに小さくなることを意味する——したがって、標本から作業する際に単純にnで割ると、母分散を系統的に過小評価することになる。
nの代わりにn-1で割ることで、この下方バイアスを平均的にちょうど補正するだけ結果を膨らませ、標本分散を反復抽出全体にわたる母分散の不偏推定量にする。この補正は、19世紀の天文学者・数学者フリードリヒ・ベッセルにちなんでベッセルの補正と呼ばれる。その効果は小標本で最大となり——n=8の場合、除数8と7の差は12.5%である——nが数百、数千に増えるにつれて無視できる程度に縮小する。これはnとn-1が比例的に収束していくためである。
母集団と標本、どちらのデータか?
母標準偏差(nで割る)を使うのは、データセットが関心のある集団全体であり、それを超えて一般化する意図が全くない場合に限られる——例えば、ある特定のスポーツチームに現在所属している全選手の年齢や、ある特定のクラスの全生徒の試験点数を、そのチームまたはそのクラスのみについて問う場合である。
標本標準偏差(n-1で割る)を使うのは、データが、結論を導きたいより大きな母集団から抽出された、またはそれを代表することを意図した部分集合である場合である——例えば、全顧客の満足度を推定するために用いる500人の顧客調査、より広い患者集団における効果を推定するために用いる臨床試験の参加者、あるいは生産ライン全体を特徴づけるために用いる品質管理測定のバッチなどである。これは応用統計学においてはるかに一般的な状況であり、そのため、ほとんどの統計ソフトウェアは特に指定がない限り標本(n-1)の計算式を既定値としている。
この選択は実際どれほど重要か?
非常に小さな標本では、2つの計算式の差は比例的に大きく、誤った方を選ぶと、標準偏差を直接の基盤とする信頼区間やzスコアなど、後続の結果を大きく歪める可能性がある。上記のn=8の例では、標本値(2.13809)は母集団値(2)よりも約6.9%大きく、この差は信頼区間の幅を同程度の割合で変化させるのに十分な大きさである。
標本サイズが大きくなるにつれて、nとn-1は比例的に近づき、2つの標準偏差は収束する:標本サイズが1,000の場合、1,000ではなく999で割っても結果はわずか約0.05%しか変化しない。大標本の状況では、この選択が実際の結論を変えることはめったにないが、標準的な統計慣行との整合性のため、また差が最も重要となる小標本のケース——正しく行うことが重要となるまさにその場面——のために、正しい慣行は依然として適用されるべきである。
よくある質問
標本標準偏差と母標準偏差の違いは何か?
母標準偏差は平均からの偏差の二乗和をn(値の個数)で割るもので、データセットが関心の対象となる母集団全体である場合に正しい。標本標準偏差は同じ二乗和をn-1で割るもので、データがより大きな母集団を推定するために用いる標本である場合に正しい。同一のデータであれば、標本値は常に母集団値よりわずかに大きくなる。これはより小さい数で割るためである。
なぜ標本の場合はn-1で割るのか?
標本平均は散らばりを測定する対象と同じデータから計算されるため、その標本については偏差の二乗和を最小化する値となることが数学的に保証されており、その結果、これらの偏差は真の母平均の周りの偏差よりも系統的にわずかに小さくなる。ベッセルの補正として知られるnの代わりにn-1で割るという操作はこれを補正し、標本分散を母分散の不偏推定量にする。
調査や実験ではどちらを使うべきか?
データが、結論を導きたいより大きな母集団を代表することを意図した部分集合である場合は常に標本標準偏差(n-1)を使う——これは調査、実験、品質管理サンプルの大部分に当てはまる。母標準偏差(n)を使うのは、データセットが研究対象の完全な集団であり、それを超えて一般化する意図が全くない場合に限られる。
実際には2つの答えはどれくらい異なるのか?
計算例(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9;n=8)では、母標準偏差はちょうど2で、標本標準偏差は約2.13809であり、差は約6.9%である。この差は標本サイズが大きくなるにつれて縮小する:n=1,000の場合、1,000ではなく999で割っても結果は約0.05%しか変化せず、大標本ではこの選択の影響ははるかに小さくなる。
n-1の補正は平均にも影響するか?
いいえ。平均は、データが標本であるか母集団であるかにかかわらず、常に値の単純な合計を個数nで割ったものである。ベッセルの補正は標準偏差と分散の計算にのみ適用され、平均自体には適用されない。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.