信頼区間の結果を読み解く
区間の幅は、推定の精度を反映しています。下の表は、例（平均50、標準偏差8、n = 100）における区間が信頼水準によってどう変わるかを示しています。
| 信頼水準 | z値 | 誤差範囲 | 区間 |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.6449 | 1.316 | 48.684 - 51.316 |
| 95% | 1.96 | 1.568 | 48.432 - 51.568 |
| 99% | 2.5758 | 2.061 | 47.939 - 52.061 |
- 信頼水準を高くするほど区間は広くなります。確実性は精度と引き換えに得られます。
- これはz値に基づく区間です。標本が小さく（nがおよそ30未満）、標準偏差をデータから推定している場合、スチューデントのt分布の方がより正確で、わずかに広い区間を与えます。
- この区間は、標本が単純無作為標本であることを前提としており、nが小さい場合には基礎となるデータがおおよそ正規分布に従うことも前提としています。標本抽出に偏りがあれば、区間の幅にかかわらずその区間は妥当ではなくなります。
- 標本サイズを4倍にすると、区間の幅は半分になります。標準誤差が1 / sqrt(n)に比例して変化するためです。
信頼区間とは
信頼区間とは、標本データから計算される範囲であり、真の母集団パラメータ——ここでは母平均——を、指定された長期的な成功率で含むように設計されたものです。信頼水準95%とは、同じ標本抽出の手順を何度も繰り返した場合、この方法で構築された区間のうち約95%が真の平均を含む、という意味です。
この区間は標本平均を中心とし、両方向にそれぞれ誤差範囲の分だけ広がります。誤差範囲は、臨界値（z）に平均の標準誤差を掛けたものであり、標準誤差は標準偏差を標本サイズの平方根で割ったものです。標本が大きくなるほど、標準誤差、ひいては区間の幅は、nの平方根に反比例して縮まります。標本サイズを4倍にすると、区間の幅は半分になります。
95%区間の正しい読み方は、個々の区間についての主張ではなく、手続きについての主張です。「真の平均がこの特定の区間の中にある確率は95%である」という言い方は、厳密には正しくありません。真の平均は固定された値であり、計算された各区間はそれを含んでいるか、含んでいないかのどちらかです。95%が指すのは、標本抽出を繰り返したときにこの方法がどれくらいの頻度で成功するかです。
この信頼区間計算機の使い方
- 標本平均——測定した値の平均——を入力します。
- 標準偏差を入力します。データから計算した標本標準偏差（n - 1の形）を使うか、既知であれば母集団の値を使ってください。
- 標本サイズn（2以上）を入力し、信頼水準——90%、95%、99%のいずれか——を選びます。
- 区間、誤差範囲、標準誤差を確認します。母標準偏差が未知の小さな標本（一般にnが30未満）では、t分布に基づく区間の方がわずかに広く、より正確である点に注意してください。
信頼区間の公式
平均に対するz値に基づく区間は、標本平均 プラスマイナス z x（標準偏差 / sqrt(n)）です。z臨界値は、90%で1.6449、95%で1.96、99%で2.5758であり、これらは標準正規分布において両側の裾に対応する確率を残す点です。
計算例：平均50、標準偏差8、n = 100、信頼水準95%。手順1——標準誤差：8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0.8。手順2——誤差範囲：1.96 x 0.8 = 1.568。手順3——区間：50 - 1.568 = 48.432、50 + 1.568 = 51.568であり、95%信頼区間は48.432から51.568です。
この計算機は標準正規（z）分布を用いており、母標準偏差が既知であるか、標本が十分に大きい場合に適しています。標本が小さく（一般にnが30未満）、母標準偏差を標本から推定する場合には、自由度n - 1のスチューデントのt分布の方がわずかに広く、より正確な区間を与えます。この差はnが大きくなるにつれて小さくなります。
よくある間違い
- 95%区間を「データの95%がこの範囲に収まる」と解釈してしまう——この区間は平均に関する不確実性を表すものであり、個々の観測値の散らばりを表すものではありません。
- 「真の平均がこの特定の区間の中にある確率は95%である」と言ってしまう——95%は、標本抽出を繰り返したときにこの手続きが成功する長期的な割合を表すものです。
- 標準偏差を推定している小さな標本にz区間を使う——そのような場合はt分布を使うのが適切です。
- 標準偏差の代わりに標準誤差を入力してしまう——計算機はsqrt(n)による割り算を自動で行います。
よくある質問
95%信頼区間はどう計算しますか。
標準誤差（標準偏差を標本サイズの平方根で割ったもの）を求め、それに1.96を掛けて誤差範囲を得ます。そして、その誤差範囲を標本平均に足し引きします。例：平均50、標準偏差8、n = 100の場合、標準誤差は0.8、誤差範囲は1.568であり、区間は48.432から51.568です。
信頼水準95%とは実際には何を意味しますか。
この方法の長期的な性能を表しています。同じサイズの標本を繰り返し抽出し、それぞれから区間を構築した場合、それらの区間のうち約95%が真の母平均を含む、ということです。個々の区間は真の平均を含んでいるか含んでいないかのどちらかであり、95%は個々の区間ではなく手続きの性質です。
zの代わりにt分布を使うべきなのはどのようなときですか。
標本が小さく（一般的な目安はnが30未満）、母標準偏差が未知で標本から推定される場合、スチューデントのt分布を使います。t分布は裾が重く、余分な不確実性を正しく反映してわずかに広い区間を与えます。標本が大きくなると、tとzの区間は実質的に同じになります。
信頼区間を狭くするにはどうすればよいですか。
3つの方法があります。標本サイズを増やす（幅は1 / sqrt(n)に比例して縮まるため、nを4倍にすると幅は半分になります）、より低い信頼水準を受け入れる（90%区間は99%区間より狭くなります）、または測定のばらつきを減らして標準偏差自体を小さくする、です。
標準誤差と標準偏差の違いは何ですか。
標準偏差は、個々の観測値が平均の周りにどれだけ散らばっているかを測るものです。標準誤差は、標本平均そのものの不確実性を測るものであり、標準偏差をsqrt(n)で割ったものに等しくなります。標本が大きくなるにつれて、標準偏差は母集団の値の近くで安定する一方、標準誤差はゼロに向かって縮み続けます。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Student (Gosset WS). The probable error of a mean. Biometrika 1908; 6(1): 1-25 (origin of the t-distribution).