どの平均を使うべきか
それぞれの平均は異なる問いに答えます。下の表は、どの平均を用いるべきかをまとめたものです。
| 平均 | 値が組み合わさる方法 | 主な用途 |
|---|---|---|
| 算術平均 | 足し算 | テストの点数、身長、気温、一般的な平均 |
| 幾何平均 | 掛け算 | 成長率、投資収益率、比率、指数 |
| 調和平均 | 逆数（割合） | 同じ距離での平均速度、株価収益率、並列抵抗 |
- 幾何平均と調和平均は、すべての値が正である場合にのみ定義されます。この計算機は、リストに0や負の数が含まれる場合、これらを表示しません。
- すべて正の値からなるデータ集合では、算術平均 ≥ 幾何平均 ≥ 調和平均が常に成り立ち、等号が成立するのはすべての値が等しい場合のみです（AM-GM-HM不等式）。
- 成長率のパーセンテージを算術平均で平均すると、累積成長を過大評価します。成長率の幾何平均が、正しい等価な一定割合を示します。
算術平均・幾何平均・調和平均とは
算術平均は、値の合計をその個数で割ったものです。身長やテストの点数、気温のように足し算で組み合わさる量に適した平均であり、多くの人が「平均」と言うときに想定しているものです。
幾何平均は、n個の正の値の積のn乗根です。成長率や比率のように掛け算で組み合わさる量に適した平均です。年ごとの成長率の幾何平均は、同じ全体の成長をもたらす一定の割合を示します。積が0になったり、負の値が根を実数でなくしたりするため、すべての値が正である場合にのみ定義されます。
調和平均は、個数を各値の逆数の合計で割ったものです。分子が一定である割合に適した平均で、代表例は同じ距離を走ったときの平均速度です。幾何平均と同様、すべての値が正である必要があります。すべて正の値からなるデータ集合では、この3つの平均は常に「算術平均 ≥ 幾何平均 ≥ 調和平均」という不等式に従い、等号が成り立つのはすべての値が同一の場合のみです。
この各種平均計算機の使い方
- 数値をセミコロンで区切って入力します。例：4; 8; 15; 16; 23; 42。
- 算術平均を確認します。これは常に表示されます。
- すべての値が正であれば、幾何平均と調和平均も確認します。リストに0や負の値が含まれる場合、これらは定義されないため表示されません。
- 問題に合った平均を選びます。足し算で組み合わさる量には算術平均、成長率や比率には幾何平均、同じ距離を走ったときの速度のような割合には調和平均を用います。
3つの平均の公式
算術平均：n個の値を足し合わせ、nで割ります。幾何平均：n個の値を掛け合わせ、n乗根を取ります（実際には対数の平均の指数として計算されます）。調和平均：nを各値の逆数の合計で割ります。
計算例（値は1、4、16）。算術平均：(1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7。幾何平均：積は1 x 4 x 16 = 64であり、64の立方根は4です。調和平均：3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21、約2.285714。7 ≥ 4 ≥ 2.285714であることが、算術・幾何・調和平均の不等式を示しています。
調和平均の速度の例：同じ距離を時速30kmと時速60kmで走った場合の平均速度は2 / (1/30 + 1/60) = 時速40kmであり、算術平均の時速45kmではありません。遅い速度でより長い時間を過ごすためです。
よくある間違い
- 成長率に算術平均を使う——+50%の年の後に-50%の年が続くと、算術的には平均0%となりますが、投資は全体として25%目減りしています。倍率1.5と0.5の幾何平均（約0.866）が真の平均変化率を反映します。
- 同じ距離での速度を算術平均で平均する——等距離の区間には調和平均が必要です。
- 0や負の値を含むデータに幾何平均や調和平均を適用する——これらは定義されません。
- 3つの平均が一致することを期待する——一致するのは、リストのすべての値が同一である場合だけです。
よくある質問
算術平均と幾何平均の違いは何ですか。
算術平均は値を足し合わせて個数で割ったものであり、幾何平均は値を掛け合わせてn乗根を取ったものです。算術平均は足し算で組み合わさる量に適しており、幾何平均は成長率のように掛け算で組み合わさる量に適しています。1、4、16という値の場合、算術平均は7、幾何平均は4です。
調和平均はどのようなときに使うべきですか。
分子が一定である割合を平均するときに調和平均を使います。代表例は同じ距離での平均速度です。同じ距離を時速30kmと時速60kmで走った場合の平均は2 / (1/30 + 1/60) = 時速40kmであり、時速45kmではありません。遅い速度でより長い時間を過ごすためです。調和平均は、株価収益率の平均や並列電気抵抗の合成にも用いられます。
この計算機で算術平均しか表示されないことがあるのはなぜですか。
幾何平均と調和平均は、リストのすべての値が正である場合にのみ定義されます。0が含まれると幾何平均は0に潰れ、調和平均は（0による除算のため）定義されなくなります。また負の値があると、積のn乗根が実数にならないことがあります。リストに0や負の値が含まれる場合、算術平均のみが報告されます。
投資収益率に幾何平均が適しているのはなぜですか。
投資収益は掛け算的に複利で増減します。あるポートフォリオが連続する2年間で1.5倍（50%増）と0.5倍（50%減）という倍率で変化した場合、全体の倍率は1.5 x 0.5 = 0.75です。倍率の幾何平均sqrt(0.75)（約0.866）が、同じ結果をもたらす一定の年間倍率であり、年平均で約13.4%の損失を意味します。これは算術平均の0%ではまったく捉えられません。
算術平均は常に3つの平均の中で最大ですか。
正の数からなるデータ集合では、その通りです。算術平均は幾何平均以上であり、幾何平均は調和平均以上です。等号が成り立つのはすべての値が同一の場合のみです。これはAM-GM-HM不等式と呼ばれ、古典的な代数学における標準的な結果です。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).