二項分布の結果の読み方
下の表は、各計算モードの定義と、どのような場面で選ぶべきかをまとめたものです。
| モード | 答える問い | 式 |
|---|---|---|
| ちょうど k 回 | ちょうど k 回成功する確率は？ | P(X = k) |
| k 回以下 | 成功が k 回以下になる確率は？ | P(X ≤ k) |
| k 回以上 | 成功が k 回以上になる確率は？ | P(X ≥ k) |
- 標準的な統計学の教科書でよく挙げられる目安として、n × p と n × (1 − p) がいずれも5以上であれば、二項分布は正規分布でおおむね近似できるとされます。連続性の補正を加えると近似の精度はさらに上がります。
- 二項モデルは、成功確率が一定の独立な試行を前提とします。有限で小さな母集団からの非復元抽出は独立性を損なうため、代わりに超幾何分布を用います。
- k は0以上 n 以下の整数でなければなりません。整数でない値や範囲外の値は、二項分布の結果としては成立しません。
- 「k 回以下」と「k + 1 回以上」は互いに余事象であり、合計すると100%になります（同様に「k − 1 回以下」と「k 回以上」の合計も100%です）。
二項分布とは
二項分布は、成功確率 (p) が等しく、1回ごとの結果が成功か失敗の2通りしかない独立な試行を決まった回数 (n) 行ったときの、成功回数の分布を表します。決まった回数コインを投げたときに表が出る回数や、生産ラインから一定数を抜き取ったときの不良品の個数などが典型例です（ただし成功確率が試行を通じて一定であることが前提です）。
この分布は離散型です。成功回数 k は0から n までの整数の値しかとりません。分布の形は n と p の両方で決まり、p = 0.5 のときは左右対称、p が0または1に近づくほど歪みが大きくなります。
二項分布を定義する2つの前提は、独立性（ある試行の結果が他の試行に影響しないこと）と、すべての試行を通じて成功確率が一定であることです。有限で小さな母集団から非復元抽出を行う場合、これらの前提が崩れるため、関連する超幾何分布を用いるほうが適切です。
この二項分布計算機の使い方
- 試行回数 n を入力します。
- 1回の試行あたりの成功確率 p をパーセントで入力します。
- 成功回数 k を入力します（0から n までの整数）。
- モードを選びます。ちょうど k 回、k 回以下、k 回以上のいずれかです。確率に加えて、分布の期待値と標準偏差も表示されます。
二項確率の計算式
n 回の試行でちょうど k 回成功する確率は、二項分布の確率質量関数で与えられます。P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ。ここで C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) は、n 回の試行のうち k 回を成功として選ぶ場合の数です。
「k 回以下」はこの確率を0から k までのすべての結果について合計したもの、「k 回以上」は k から n まで合計したもの（言い換えれば、1から「k − 1 回以下」の確率を引いたもの）です。
分布の期待値（平均成功回数）は n × p、標準偏差は √(n × p × (1 − p)) です。
計算例：n = 20回、p = 50%、ちょうど k = 8回成功。P(X = 8) = C(20, 8) × 0.5⁸ × 0.5¹² ≈ 12.01%。期待値は 20 × 0.5 = 10、標準偏差は √(20 × 0.5 × 0.5) = √5 ≈ 2.2361 です。
よくある間違い
- 独立でない試行や、試行ごとに成功確率が変わる場合に二項分布を使うこと。小さな母集団からの非復元抽出などがこれにあたります。
- モード間の1つずれの誤り。「4回以上」は「4回以下」の余事象ではありません。「4回以下」の余事象は「5回以上」です。
- パーセントでの入力が求められているところに、成功確率を小数（0.5）で入力すること（正しくは50）。
- 連続的な結果や、1回の試行で3通り以上の結果がある場合に二項分布を当てはめること。後者には多項分布モデルが必要です。
- 二項分布が n 回すべての試行で p が一定であることを前提としている点を忘れること。確率が時間とともに変動する場合、このモデルは成り立ちません。
よくある質問
二項確率はどう計算しますか？
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ を使います。n は試行回数、p は成功確率、C(n, k) は n 回の試行の中で k 回の成功を並べる場合の数です。「以下」「以上」の場合は、この式を該当する k の範囲にわたって合計します。
二項分布を使うための条件は何ですか？
試行回数 (n) が決まっていること、各試行の結果が成功か失敗の2通りしかないこと、成功確率 (p) が試行を通じて一定であること、そして各試行が互いに独立であることの4つです。
成功回数の期待値はいくつですか？
二項分布の期待値（平均）は n × p です。たとえば試行回数20回・成功確率50%なら、期待される成功回数は 20 × 0.5 = 10 回です。
「ちょうど」「以下」「以上」の違いは何ですか？
「ちょうど k 回」はぴったり k 回成功する確率です。「k 回以下」は0回から k 回までの確率を合計したもの、「k 回以上」は k 回から n 回までを合計したもので、1から「k − 1 回以下」の確率を引いた値に等しくなります。
二項分布を正規分布で近似できるのはどんなときですか？
よく使われる目安は、n × p と n × (1 − p) がいずれも5以上であれば近似が妥当というものです。この範囲を外れる場合、特に n が小さいときや p が0.5から大きく離れているときは、二項分布で厳密に計算するほうが信頼できます。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).