Memahami simpangan baku Anda
Untuk data yang kira-kira normal (berbentuk lonceng), aturan empiris menggambarkan berapa banyak data yang berada dalam sejumlah simpangan baku tertentu dari mean.
| Interval di sekitar mean | Perkiraan proporsi data (distribusi normal) |
|---|---|
| Dalam 1 simpangan baku | Sekitar 68% |
| Dalam 2 simpangan baku | Sekitar 95% |
| Dalam 3 simpangan baku | Sekitar 99,7% |
- Aturan empiris 68-95-99,7 berlaku untuk distribusi yang kira-kira normal; data yang sangat miring atau berekor tebal dapat menyimpang jauh dari persentase ini.
- Gunakan bentuk sampel (n - 1) ketika data adalah sampel yang digunakan untuk menyimpulkan populasi yang lebih besar; gunakan bentuk populasi (n) hanya ketika kumpulan data adalah seluruh populasi yang diminati.
- Simpangan baku sensitif terhadap outlier karena selisihnya dikuadratkan; satu nilai ekstrem dapat menggelembungkannya secara nyata.
- Kalkulator ini memerlukan setidaknya dua nilai, karena sebaran tidak dapat diestimasi dari satu pengamatan saja.
Apa itu simpangan baku?
Simpangan baku mengukur jarak khas nilai data dari meannya. Simpangan baku yang kecil berarti nilai-nilai mengelompok rapat di sekitar mean; yang besar berarti nilai-nilai tersebar luas. Simpangan baku dinyatakan dalam satuan yang sama dengan data, sehingga lebih mudah diinterpretasikan daripada varians (kuadratnya).
Poin pembelajaran utamanya adalah perbedaan antara bentuk sampel dan populasi. Simpangan baku populasi (sigma) membagi jumlah kuadrat selisih dengan n, dan hanya tepat jika kumpulan data adalah seluruh populasi yang diminati — misalnya, nilai ujian setiap siswa dalam satu kelas tertentu. Simpangan baku sampel (s) sebaliknya membagi dengan n - 1, dan tepat digunakan ketika data adalah sampel yang dipakai untuk mengestimasi sebaran populasi yang lebih besar.
Membagi dengan n - 1 dikenal sebagai koreksi Bessel. Karena mean sampel dihitung dari data yang sama, selisih di sekitarnya secara sistematis sedikit lebih kecil daripada selisih di sekitar mean populasi yang sebenarnya (tidak diketahui); membagi dengan n - 1 alih-alih n mengompensasi hal ini dan membuat varians sampel menjadi estimator tak bias dari varians populasi. Koreksi ini paling berpengaruh untuk sampel kecil dan menjadi dapat diabaikan seiring bertambahnya n.
Cara menggunakan kalkulator simpangan baku ini
- Masukkan setidaknya dua angka dipisahkan dengan ;, misalnya: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
- Baca simpangan baku sampel (s) jika data Anda adalah sampel dari populasi yang lebih besar — kasus yang umum pada survei, eksperimen, dan pemeriksaan kualitas.
- Baca simpangan baku populasi (sigma) jika data Anda adalah seluruh populasi yang diminati.
- Gunakan mean, varians sampel, dan banyaknya data untuk memeriksa perhitungan atau membawanya ke analisis lebih lanjut seperti interval kepercayaan dan z-score.
Rumus simpangan baku
Kedua bentuk dimulai dengan cara yang sama: hitung mean, kurangkan dari setiap nilai, kuadratkan setiap selisih, lalu jumlahkan kuadratnya. Bentuk populasi membagi jumlah tersebut dengan n dan mengambil akar kuadratnya; bentuk sampel membagi dengan n - 1 lalu mengambil akar kuadratnya.
Contoh perhitungan: nilai 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Langkah 1 — mean: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Langkah 2 — kuadrat selisih: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, yang jumlahnya 32. Langkah 3 (populasi) — 32 / 8 = 4, dan sqrt(4) = 2. Langkah 4 (sampel) — 32 / 7 = 4,571429 (varians sampel), dan sqrt(4,571429) = 2,13809 (dibulatkan).
Nilai sampel selalu sedikit lebih besar daripada nilai populasi untuk data yang sama, karena dibagi dengan angka yang lebih kecil — kecuali jika semua nilai identik, dalam hal ini keduanya nol. Selisihnya menyusut seiring bertambahnya sampel.
Kesalahan umum
- Menggunakan rumus populasi (membagi dengan n) pada data sampel — ini secara sistematis meremehkan sebaran populasi asal sampel; bagi dengan n - 1 untuk sampel.
- Mencampuradukkan varians dengan simpangan baku: varians adalah kuadrat dari simpangan baku dan dinyatakan dalam satuan kuadrat.
- Menerapkan aturan 68-95-99,7 pada data yang jelas miring atau berekor tebal, di mana aturan tersebut tidak berlaku.
- Membandingkan simpangan baku dari kumpulan data yang diukur dalam satuan atau skala yang sangat berbeda tanpa standardisasi (untuk sebaran relatif, koefisien variasi membagi dengan mean).
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa perbedaan antara simpangan baku sampel dan populasi?
Simpangan baku populasi membagi jumlah kuadrat selisih dengan n dan tepat digunakan ketika data Anda adalah seluruh populasi. Simpangan baku sampel membagi dengan n - 1 (koreksi Bessel) dan tepat digunakan ketika data Anda adalah sampel yang dipakai untuk mengestimasi sebaran populasi yang lebih besar. Untuk data yang sama, nilai sampel selalu sedikit lebih besar (keduanya nol jika semua nilai identik); selisihnya memudar seiring bertambahnya ukuran sampel.
Mengapa membagi dengan n - 1, bukan n?
Karena mean sampel dihitung dari data yang sama, selisih yang teramati di sekitarnya secara sistematis sedikit lebih kecil daripada selisih di sekitar mean populasi yang sebenarnya. Membagi dengan n - 1 alih-alih n mengompensasi bias ini, membuat varians sampel menjadi estimator tak bias dari varians populasi. Penyesuaian ini disebut koreksi Bessel.
Bagaimana cara menghitung simpangan baku secara manual?
Pertama cari mean. Lalu kurangkan mean dari setiap nilai, kuadratkan setiap hasilnya, dan jumlahkan kuadratnya. Untuk sampel, bagi jumlah ini dengan n - 1; untuk populasi, bagi dengan n. Terakhir, ambil akar kuadratnya. Contoh: untuk 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 meannya 5, jumlah kuadrat selisihnya 32, dan simpangan baku sampelnya sqrt(32 / 7) = 2,138 (dibulatkan).
Apa arti simpangan baku 0?
Artinya setiap nilai dalam kumpulan data identik — tidak ada sebaran sama sekali. Semakin besar simpangan baku, semakin besar perbedaan nilai-nilai dari mean secara khas. Simpangan baku tidak pernah bisa negatif.
Apa itu aturan 68-95-99,7?
Untuk data yang kira-kira normal (berbentuk lonceng), sekitar 68% nilai berada dalam satu simpangan baku dari mean, sekitar 95% dalam dua simpangan baku, dan sekitar 99,7% dalam tiga simpangan baku. Aturan ini adalah cara cepat untuk menilai apakah suatu pengamatan tidak biasa, tetapi hanya andal jika distribusinya kira-kira normal.
Apakah varians sama dengan simpangan baku?
Tidak. Varians adalah rata-rata dari kuadrat selisih terhadap mean, dan simpangan baku adalah akar kuadratnya. Varians dinyatakan dalam satuan kuadrat (misalnya cm^2 untuk data yang diukur dalam cm), itulah sebabnya simpangan baku — dalam satuan aslinya — biasanya yang dikutip saat menggambarkan sebaran.
Referensi
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.