Rumus skor-z: membakukan sebuah nilai
Skor-z, yang juga disebut skor baku, mengubah nilai mentah menjadi ukuran seberapa jauh nilai itu dari rata-rata distribusinya, dinyatakan dalam satuan simpangan baku alih-alih dalam satuan aslinya. Rumusnya adalah z = (x - rata-rata) / simpangan baku, dengan x sebagai nilai yang sedang dibakukan. Skor-z sebesar 0 berarti nilai itu persis sama dengan rata-rata; skor-z positif berarti nilainya di atas rata-rata; skor-z negatif berarti nilainya di bawah rata-rata.
Pembakuan semacam ini memungkinkan kita membandingkan pengukuran yang berasal dari skala atau distribusi berbeda — misalnya membandingkan capaian seorang siswa pada dua ujian dengan rata-rata dan sebaran yang tidak sama, atau menimbang satu hasil laboratorium terhadap rentang rujukannya. Karena skor-z menanggalkan satuan sekaligus skala aslinya, skor-z sebesar +1 selalu bermakna relatif sama (satu simpangan baku di atas rata-rata distribusi asalnya), apa pun yang sedang diukur.
Apa arti “dua simpangan baku di atas rata-rata”?
Menyebut sebuah nilai berada dua simpangan baku di atas rata-rata hanyalah cara lain untuk mengatakan bahwa skor-z-nya adalah +2: nilai itu lebih jauh dari rata-rata dibanding pengamatan pada umumnya, sejauh dua kali simpangan baku distribusinya. Karena simpangan baku mengukur sebaran khas data, skor-z sebesar 2 atau lebih (atau -2 atau kurang) secara konvensi dianggap tidak lazim, sebab relatif sedikit pengamatan pada distribusi yang mendekati normal jatuh sejauh itu dari pusatnya.
Ungkapan ini semata-mata menggambarkan posisi di dalam sebuah distribusi — ia sendiri tidak menyatakan apakah berada dua simpangan baku di atas rata-rata itu baik, buruk, atau netral. Skor-z sebesar +2 pada distribusi nilai ujian umumnya menandakan hasil yang kuat, sedangkan skor-z sebesar +2 pada distribusi tekanan darah umumnya menandakan angka yang jauh di atas lazim dan layak mendapat perhatian klinis. Skor-z melaporkan jarak dari rata-rata; menafsirkan arti jarak itu selalu bergantung pada apa yang sedang diukur.
Distribusi normal baku dan persentil
Bila data yang mendasarinya mendekati normal (berbentuk lonceng), skor-z dapat diubah menjadi persentil memakai fungsi distribusi kumulatif normal baku, yang memberi proporsi distribusi yang berada di bawah suatu skor-z. Konversi inilah yang memungkinkan skor-z dinyatakan ulang sebagai “nilai ini lebih tinggi daripada kira-kira X% distribusi.” Tabel di bawah ini memuat persentil baku yang sudah mapan untuk skor-z bilangan bulat dari -2 hingga +3.
| Skor-z | Persentil (bagian distribusi di bawahnya) | Bagian di atasnya |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | 97,72% |
| -1 | 15,87% | 84,13% |
| 0 | 50,00% | 50,00% |
| +1 | 84,13% | 15,87% |
| +2 | 97,72% | 2,28% |
| +3 | 99,87% | 0,13% |
Contoh perhitungan: dari skor mentah ke persentil
Tinjau nilai x = 130 yang diambil dari distribusi dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15 (skala klasik yang dipakai untuk skor IQ). Langkah 1: hitung skor-z, z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Langkah 2: cari z = 2 pada distribusi normal baku, yang setara dengan persentil ke-97,72 — artinya kira-kira 97,72% distribusi berada pada atau di bawah nilai 130, dan kira-kira 2,28% berada di atasnya.
Contoh kedua pada skala yang sama: nilai x = 85 memberi z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1, yang setara dengan persentil ke-15,87 — artinya nilai ini berada di bawah sekitar 84,13% distribusi dan di atas sekitar 15,87% sisanya. Pada kedua kasus, seluruh perhitungan menyusut menjadi dua langkah saja: bakukan nilainya menjadi skor-z, lalu baca persentil yang bersesuaian pada distribusi normal baku.
Aturan empiris 68-95-99,7
Untuk data yang mendekati normal, aturan empiris (kerap disebut aturan 68-95-99,7) memberi cara cepat menilai seberapa tidak lazim sebuah skor-z tanpa menelusuri tabel persentil: sekitar 68% nilai jatuh dalam satu simpangan baku dari rata-rata (z antara -1 dan +1), sekitar 95% dalam dua simpangan baku (z antara -2 dan +2), dan sekitar 99,7% dalam tiga simpangan baku (z antara -3 dan +3).
Aturan ini mengalir langsung dari tabel persentil di atas: bagian antara z = -1 dan z = +1 adalah 84,13% - 15,87% = 68,26%, bagian antara z = -2 dan z = +2 adalah 97,72% - 2,28% = 95,44%, dan bagian antara z = -3 dan z = +3 adalah 99,87% - 0,13% = 99,74% — semuanya selaras dengan hampiran 68%, 95%, dan 99,7% yang lazim dikutip. Aturan ini hanya berlaku bila distribusi yang mendasarinya mendekati normal; data yang menceng atau berekor tebal bisa menyimpang jauh dari proporsi tersebut, meski skor-z tetap dapat dihitung untuknya.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara menghitung skor-z?
Kurangkan rata-rata dari nilainya, lalu bagi dengan simpangan baku: z = (x - rata-rata) / simpangan baku. Misalnya, nilai 130 pada skala dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15 memberi z = (130 - 100) / 15 = 2, yang berarti nilai itu berada dua simpangan baku di atas rata-rata.
Persentil berapa yang setara dengan skor-z sebesar 2?
Kira-kira persentil ke-97,72. Distribusi normal baku menempatkan sekitar 97,72% nilai pada atau di bawah skor-z sebesar 2, sehingga nilai dengan skor-z tersebut lebih tinggi daripada sekitar 97,72% distribusi dan lebih rendah daripada sekitar 2,28% sisanya, dengan asumsi data yang mendasarinya mendekati normal.
Apa artinya berada dua simpangan baku di atas rata-rata?
Artinya nilai itu memiliki skor-z sebesar +2: ia berada lebih jauh di atas rata-rata dibanding pengamatan pada umumnya, sejauh dua kali simpangan baku distribusinya. Untuk data yang mendekati normal, sekitar 97,72% distribusi berada pada atau di bawah nilai ini, sehingga hasil semacam itu tergolong jarang — meski apakah hal itu diinginkan atau tidak sepenuhnya bergantung pada apa yang sedang diukur.
Apakah skor-z mensyaratkan data berdistribusi normal?
Perhitungan skor-z itu sendiri, z = (x - rata-rata) / simpangan baku, terdefinisi untuk distribusi apa pun dan tidak menuntut kenormalan. Namun mengubah skor-z menjadi persentil lewat distribusi normal baku — seperti pada contoh di atas — hanya akurat bila data yang mendasarinya mendekati normal (berbentuk lonceng); untuk data yang menceng atau berekor tebal, persentil sebaiknya dibaca langsung dari datanya.
Apa itu aturan 68-95-99,7?
Ini adalah ringkasan berapa banyak bagian distribusi yang mendekati normal yang jatuh dalam satu, dua, dan tiga simpangan baku dari rata-rata: sekitar 68% dalam satu simpangan baku (z antara -1 dan +1), sekitar 95% dalam dua (z antara -2 dan +2), dan sekitar 99,7% dalam tiga (z antara -3 dan +3). Aturan ini menawarkan cara cepat menilai seberapa tidak lazim sebuah nilai tanpa menelusuri tabel persentil.
Referensi
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).