Memahami hasil distribusi binomial Anda
Tabel di bawah ini merangkum bagaimana setiap mode perhitungan didefinisikan dan kapan mode tersebut menjadi pilihan yang tepat.
| Mode | Pertanyaan yang dijawab | Rumus |
|---|---|---|
| Tepat k | Berapa probabilitas tepat k keberhasilan? | P(X = k) |
| Paling banyak k | Berapa probabilitas k keberhasilan atau kurang? | P(X ≤ k) |
| Paling sedikit k | Berapa probabilitas k keberhasilan atau lebih? | P(X ≥ k) |
- Aturan praktis yang umum dikutip (ditemukan dalam buku teks statistik standar) menyatakan bahwa distribusi binomial dapat didekati secara wajar oleh distribusi normal ketika n × p dan n × (1 − p) sama-sama minimal 5, dengan koreksi kontinuitas yang lebih menyempurnakan pendekatan tersebut.
- Model binomial mensyaratkan percobaan independen dengan probabilitas keberhasilan yang konstan; pengambilan sampel tanpa pengembalian dari populasi terbatas yang kecil melanggar independensi dan memerlukan distribusi hipergeometrik sebagai gantinya.
- k harus berupa bilangan bulat antara 0 dan n (inklusif); nilai k yang bukan bilangan bulat atau di luar rentang bukan merupakan hasil binomial yang valid.
- "Paling banyak k" dan "paling sedikit k + 1" saling melengkapi dan berjumlah 100% (atau, secara ekuivalen, "paling banyak k − 1" dan "paling sedikit k" berjumlah 100%).
Apa itu distribusi binomial?
Distribusi binomial memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen yang tetap (n), masing-masing dengan probabilitas keberhasilan yang sama (p) dan hanya dua kemungkinan hasil per percobaan — berhasil atau gagal. Contoh klasiknya termasuk jumlah sisi kepala dalam sejumlah lemparan koin yang tetap, atau jumlah barang cacat dalam sampel tetap dari lini produksi, asalkan probabilitas keberhasilan tetap konstan di seluruh percobaan.
Distribusi ini bersifat diskrit: jumlah keberhasilan k hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat dari 0 hingga n. Bentuknya bergantung pada n dan p — simetris ketika p = 0,5, dan semakin miring saat p bergerak mendekati 0 atau 1.
Dua asumsi utamanya adalah independensi (hasil satu percobaan tidak memengaruhi percobaan lain) dan probabilitas keberhasilan yang konstan di seluruh percobaan. Ketika percobaan diambil tanpa pengembalian dari populasi terbatas yang kecil, asumsi-asumsi ini dapat dilanggar dan distribusi hipergeometrik yang terkait menjadi lebih tepat.
Cara menggunakan kalkulator distribusi binomial ini
- Masukkan jumlah percobaan, n.
- Masukkan probabilitas keberhasilan per percobaan, p, sebagai persentase.
- Masukkan jumlah keberhasilan, k (bilangan bulat dari 0 hingga n).
- Pilih mode: tepat k keberhasilan, paling banyak k keberhasilan, atau paling sedikit k keberhasilan, lalu baca probabilitas hasilnya, beserta nilai harapan dan simpangan baku dari distribusi tersebut.
Rumus di balik probabilitas binomial
Probabilitas tepat k keberhasilan dalam n percobaan diberikan oleh fungsi massa probabilitas binomial: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, di mana C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) adalah jumlah cara memilih k keberhasilan di antara n percobaan.
"Paling banyak k" menjumlahkan probabilitas ini untuk setiap hasil dari 0 hingga k; "paling sedikit k" menjumlahkannya dari k hingga n (secara ekuivalen, 1 dikurangi probabilitas paling banyak k − 1).
Nilai harapan distribusi ini (rata-rata jumlah keberhasilan) adalah n × p, dan simpangan bakunya adalah √(n × p × (1 − p)).
Contoh perhitungan: n = 20 percobaan, p = 50%, tepat k = 8 keberhasilan. P(X = 8) = C(20, 8) × 0,5⁸ × 0,5¹² ≈ 12,01%. Nilai harapannya adalah 20 × 0,5 = 10, dan simpangan bakunya adalah √(20 × 0,5 × 0,5) = √5 ≈ 2,2361.
Kesalahan umum
- Menggunakan distribusi binomial untuk percobaan yang tidak independen atau ketika probabilitas keberhasilan berubah antar percobaan, seperti pengambilan tanpa pengembalian dari populasi kecil.
- Kesalahan selisih satu angka antar mode — "paling sedikit 4" bukan komplemen dari "paling banyak 4"; komplemen dari "paling banyak 4" adalah "paling sedikit 5".
- Memasukkan probabilitas keberhasilan sebagai desimal (0,5) alih-alih persentase (50) ketika input tersebut mengharapkan persentase.
- Menerapkan distribusi binomial pada hasil kontinu, atau pada hitungan dengan lebih dari dua kemungkinan hasil per percobaan (yang sebenarnya memerlukan model multinomial).
- Lupa bahwa distribusi binomial mengasumsikan p tetap konstan di seluruh n percobaan — probabilitas yang berubah seiring waktu membuat model ini tidak valid.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara menghitung probabilitas binomial?
Gunakan P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, di mana n adalah jumlah percobaan, p adalah probabilitas keberhasilan, dan C(n, k) menghitung jumlah cara menyusun k keberhasilan di antara n percobaan. Untuk "paling banyak" atau "paling sedikit", jumlahkan rumus ini pada rentang nilai k yang relevan.
Kondisi apa saja yang harus dipenuhi untuk menggunakan distribusi binomial?
Harus ada jumlah percobaan yang tetap (n), setiap percobaan hanya boleh memiliki dua kemungkinan hasil (berhasil atau gagal), probabilitas keberhasilan (p) harus tetap konstan di seluruh percobaan, dan percobaan-percobaan tersebut harus saling independen.
Berapa jumlah keberhasilan yang diharapkan?
Nilai harapan (rata-rata) dari distribusi binomial adalah n × p. Misalnya, dengan 20 percobaan dan probabilitas keberhasilan 50%, jumlah keberhasilan yang diharapkan adalah 20 × 0,5 = 10.
Apa perbedaan antara 'tepat', 'paling banyak', dan 'paling sedikit'?
"Tepat k" adalah probabilitas dari persis k keberhasilan. "Paling banyak k" menjumlahkan probabilitas untuk 0 hingga k keberhasilan. "Paling sedikit k" menjumlahkan probabilitas untuk k hingga n keberhasilan; nilainya sama dengan 1 dikurangi probabilitas paling banyak k − 1 keberhasilan.
Kapan distribusi normal dapat mendekati distribusi binomial?
Aturan praktis yang umum digunakan adalah bahwa pendekatan ini wajar ketika n × p dan n × (1 − p) sama-sama minimal 5. Di luar rentang tersebut, terutama untuk n kecil atau p yang jauh dari 0,5, perhitungan binomial eksak lebih dapat diandalkan.
Referensi
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).