Memahami keempat hasil
Tabel di bawah menunjukkan setiap keluaran untuk contoh P(A) = 50%, P(B) = 30%, dengan asumsi independensi.
| Hasil | Rumus | Nilai contoh |
|---|---|---|
| A dan B keduanya | P(A) x P(B) | 0,5 x 0,3 = 15% |
| Setidaknya satu (A atau B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0,5 + 0,3 - 0,15 = 65% |
| A tidak terjadi | 1 - P(A) | 1 - 0,5 = 50% |
| Tidak ada yang terjadi | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0,5 x 0,7 = 35% |
- Semua hasil mengasumsikan A dan B independen. Jika kedua peristiwa saling memengaruhi (peristiwa dependen), rumus ini tidak berlaku dan diperlukan probabilitas bersyarat.
- 'Setidaknya satu terjadi' dan 'tidak ada yang terjadi' saling melengkapi: probabilitas keduanya selalu berjumlah 100%.
- Probabilitas menggambarkan frekuensi jangka panjang selama banyak pengulangan; peluang 15% tidak berarti peristiwa tersebut terjadi tepat 15 kali dari 100 percobaan berikutnya.
Apa itu probabilitas peristiwa gabungan?
Probabilitas adalah angka antara 0 dan 1 (atau 0% dan 100%) yang menyatakan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi: 0 berarti mustahil, 1 berarti pasti. Ketika dua peristiwa dipertimbangkan bersama, aturan probabilitas standar menentukan bagaimana probabilitas masing-masing digabungkan menjadi probabilitas hasil gabungan seperti 'keduanya terjadi' atau 'setidaknya satu terjadi'.
Kalkulator ini mengasumsikan kedua peristiwa independen: mengetahui bahwa satu peristiwa terjadi tidak memberi tahu apa pun tentang apakah peristiwa lain terjadi. Lemparan koin, pelemparan dadu yang terpisah, dan pengambilan acak yang tidak berkaitan adalah contoh klasik independensi. Dengan independensi, probabilitas kedua peristiwa terjadi hanyalah hasil kali probabilitas masing-masing: P(A dan B) = P(A) x P(B).
Asumsi independensi sangat penting dan harus diperiksa terhadap situasi nyata, tidak diasumsikan begitu saja. Mengambil dua kartu dari tumpukan yang sama tanpa pengembalian, atau dua peristiwa cuaca pada hari yang sama, bersifat dependen — hasil pertama mengubah probabilitas untuk yang kedua — dan aturan hasil kali kemudian meremehkan atau melebih-lebihkan probabilitas gabungan yang sebenarnya. Untuk peristiwa dependen, diperlukan probabilitas bersyarat: P(A dan B) = P(A) x P(B jika A).
Cara menggunakan kalkulator probabilitas ini
- Masukkan probabilitas peristiwa A sebagai persentase antara 0 dan 100, misalnya 50 untuk koin yang adil jatuh sisi kepala.
- Masukkan probabilitas peristiwa B sebagai persentase, misalnya 30.
- Pastikan kedua peristiwa benar-benar independen — terjadinya salah satu tidak boleh mengubah peluang yang lain. Rumus yang digunakan di sini hanya berlaku dengan asumsi tersebut.
- Baca keempat probabilitas gabungan: keduanya terjadi, setidaknya satu terjadi, A tidak terjadi, dan tidak ada yang terjadi.
Aturan probabilitas untuk peristiwa independen
Aturan perkalian (keduanya terjadi): untuk peristiwa independen, P(A dan B) = P(A) x P(B). Aturan komplemen: P(bukan A) = 1 - P(A). Tidak ada yang terjadi: P(tidak ada) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)), yang menerapkan aturan perkalian pada kedua komplemennya. Setidaknya satu terjadi (inklusi-eksklusi): P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B).
Contoh perhitungan dengan P(A) = 50% dan P(B) = 30%, ditulis sebagai 0,5 dan 0,3. Keduanya: 0,5 x 0,3 = 0,15 = 15%. Setidaknya satu: 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65 = 65%. Bukan A: 1 - 0,5 = 0,5 = 50%. Tidak ada: 0,5 x 0,7 = 0,35 = 35%. Sebagai pemeriksaan konsistensi, 'setidaknya satu' dan 'tidak ada' saling melengkapi: 65% + 35% = 100%.
Pengurangan P(A dan B) pada rumus 'setidaknya satu' mencegah penghitungan ganda: hasil di mana kedua peristiwa terjadi jika tidak akan dihitung sekali dalam P(A) dan sekali lagi dalam P(B).
Kesalahan umum
- Menjumlahkan probabilitas untuk 'A atau B' tanpa mengurangi bagian yang tumpang tindih: P(A) + P(B) saja menghitung ganda hasil di mana keduanya terjadi, bahkan bisa melebihi 100%.
- Mengalikan probabilitas peristiwa dependen seolah-olah independen — mengambil kartu tanpa pengembalian adalah contoh tandingan klasik.
- Kekeliruan penjudi (gambler's fallacy): memperlakukan percobaan independen seolah-olah hasil masa lalu mengubah probabilitas masa depan; koin yang adil yang sudah jatuh sisi kepala lima kali berturut-turut tetap memiliki peluang 50% jatuh sisi kepala pada lemparan berikutnya.
- Mencampuradukkan 'keduanya terjadi' dengan 'setidaknya satu terjadi' — untuk P(A) = 50% dan P(B) = 30% keduanya adalah 15% dan 65%, dua besaran yang sangat berbeda.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa arti dua peristiwa independen?
Dua peristiwa independen ketika terjadinya salah satu tidak mengubah probabilitas yang lain — secara formal, P(A dan B) = P(A) x P(B). Lemparan koin yang terpisah dan pelemparan dadu yang tidak berkaitan bersifat independen; mengambil dua kartu dari tumpukan yang sama tanpa pengembalian tidak, karena pengambilan pertama mengubah komposisi tumpukan.
Bagaimana cara menghitung probabilitas kedua peristiwa terjadi?
Untuk peristiwa independen, kalikan probabilitas masing-masing: P(A dan B) = P(A) x P(B). Misalnya, dengan P(A) = 50% dan P(B) = 30%, probabilitas keduanya terjadi adalah 0,5 x 0,3 = 0,15, atau 15%. Aturan hasil kali ini hanya berlaku jika peristiwa-peristiwanya independen.
Bagaimana cara menghitung probabilitas setidaknya satu peristiwa terjadi?
Gunakan aturan inklusi-eksklusi: P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B). Dengan peristiwa independen pada 50% dan 30%, hasilnya 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65, atau 65%. Sebagai alternatif, hitung 1 dikurangi probabilitas tidak ada yang terjadi: 1 - (0,5 x 0,7) = 0,65.
Mengapa saya tidak bisa langsung menjumlahkan kedua probabilitas untuk 'A atau B'?
Karena hasil di mana kedua peristiwa terjadi akan dihitung dua kali — sekali dalam P(A) dan sekali dalam P(B). Menjumlahkan 50% dan 30% menghasilkan 80%, tetapi jawaban yang benar untuk peristiwa independen adalah 65% setelah tumpang tindih 15% dikurangkan. Penjumlahan sederhana hanya berlaku untuk peristiwa yang saling eksklusif, yang menurut definisinya tidak bisa terjadi bersamaan.
Bagaimana jika peristiwa saya tidak independen?
Maka rumus ini tidak berlaku. Untuk peristiwa dependen, probabilitas gabungan menggunakan probabilitas bersyarat: P(A dan B) = P(A) x P(B jika A), di mana P(B jika A) adalah probabilitas B setelah diketahui A telah terjadi. Misalnya, peluang mengambil dua kartu As dari satu set kartu standar tanpa pengembalian adalah (4/52) x (3/51), bukan (4/52) x (4/52).
Referensi
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.