Memahami hasil distribusi normal Anda
Tabel di bawah ini mencantumkan probabilitas kumulatif normal standar Φ(z) pada skor-z bilangan bulat, sesuai dengan tabel distribusi normal standar.
| Skor-z | Φ(z) — probabilitas kumulatif di bawah z |
|---|---|
| −3 | 0,13% |
| −2 | 2,28% |
| −1 | 15,87% |
| 0 | 50,00% |
| +1 | 84,13% |
| +2 | 97,72% |
| +3 | 99,87% |
- Aturan empiris: sekitar 68,27% dari distribusi normal berada dalam ±1 simpangan baku dari rata-rata, sekitar 95,45% dalam ±2 simpangan baku, dan sekitar 99,73% dalam ±3 simpangan baku.
- Dalam mode "di antara", batas atas b harus lebih besar dari atau sama dengan x; kalkulator tidak akan menampilkan hasil jika b lebih kecil dari x.
- Karena distribusi normal bersifat kontinu, probabilitas dari satu nilai pasti selalu 0 — hanya rentang (di bawah, di atas, di antara) yang memiliki probabilitas bukan nol.
- Perhitungan ini mengasumsikan bahwa variabel tersebut benar-benar berdistribusi normal. Data yang miring (skewed), terbatas, atau berekor tebal dapat menyimpang jauh dari probabilitas ini meskipun skor-z tetap dapat dihitung.
Apa itu distribusi normal?
Distribusi normal (distribusi Gaussian) adalah distribusi probabilitas kontinu, simetris, dan berbentuk lonceng yang sepenuhnya dijelaskan oleh dua parameter: rata-rata (μ), yang menentukan pusatnya, dan simpangan baku (σ), yang menentukan sebarannya. Banyak besaran alami dan hasil pengukuran — tinggi badan, galat pengukuran, skor tes terstandarisasi — mendekati normal, itulah sebabnya distribusi ini menjadi inti dari teori dan praktik statistik.
Karena distribusi kontinu memberikan probabilitas pada rentang, bukan pada titik tunggal, kalkulator ini menjawab pertanyaan berbentuk 'berapa proporsi nilai yang berada di bawah x', 'di atas x', atau 'di antara x dan b' — bukan 'berapa probabilitas tepat x', yang selalu 0 untuk distribusi kontinu.
Setiap distribusi normal dapat diubah menjadi distribusi normal standar (rata-rata 0, simpangan baku 1) dengan menghitung skor-z, z = (x − μ) / σ. Probabilitas yang terkait dengan rentang nilai x kemudian dibaca dari fungsi distribusi kumulatif normal standar (CDF), yang sering ditulis Φ(z), yang memberikan proporsi distribusi yang berada pada atau di bawah z.
Aturan empiris (juga disebut aturan 68-95-99,7) merangkum sebaran distribusi normal standar: sekitar 68,27% nilai berada dalam 1 simpangan baku dari rata-rata, sekitar 95,45% berada dalam 2 simpangan baku, dan sekitar 99,73% berada dalam 3 simpangan baku.
Cara menggunakan kalkulator distribusi normal ini
- Masukkan rata-rata (μ) dan simpangan baku (σ) dari distribusi tersebut. Simpangan baku harus lebih besar dari nol.
- Pilih mode perhitungan: di bawah suatu nilai, di atas suatu nilai, atau di antara dua nilai.
- Masukkan nilai x. Dalam mode "di antara", masukkan juga batas atas b, yang harus lebih besar dari atau sama dengan x.
- Baca probabilitasnya (sebagai persentase dan sebagai proporsi antara 0 dan 1), beserta skor-z yang sesuai untuk x.
Rumus di balik probabilitas distribusi normal
Setiap perhitungan dimulai dengan menstandarkan x menjadi skor-z: z = (x − μ) / σ. Probabilitasnya kemudian dibaca dari CDF normal standar, Φ(z), yang tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup sederhana dan dihitung secara numerik.
Mode di bawah: P(X < x) = Φ(z). Mode di atas: P(X > x) = 1 − Φ(z). Mode di antara: P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ), di mana zᵦ adalah skor-z dari batas atas b.
Contoh perhitungan (mode di bawah): rata-rata = 100, simpangan baku = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1,3333. Melihat Φ(1,3333) pada distribusi normal standar memberikan sekitar 0,9088, sehingga P(X < 120) ≈ 90,88%.
Contoh perhitungan (mode di antara, normal standar): rata-rata = 0, simpangan baku = 1, di antara −1 dan +1. z bawah = −1, z atas = +1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, sehingga P(−1 < X < 1) ≈ 68,27% — langkah pertama dari aturan empiris.
Kesalahan umum
- Memilih mode yang salah — "di bawah", "di atas", dan "di antara" memberikan probabilitas yang berbeda untuk x yang sama, dan tertukar di antara ketiganya adalah sumber kesalahan yang umum.
- Memasukkan batas atas b yang lebih kecil dari x dalam mode "di antara", yang bukan rentang yang valid untuk kalkulator ini.
- Menganggap probabilitas dari satu nilai pasti sebagai sesuatu yang bermakna — untuk distribusi kontinu seperti normal, P(X = x) selalu 0.
- Mengasumsikan suatu dataset berdistribusi normal tanpa memeriksanya — probabilitas yang ditampilkan di sini hanya akurat jika variabel yang mendasarinya mendekati distribusi normal.
- Mengacaukan simpangan baku dengan varians — kalkulator ini meminta simpangan baku (σ), bukan kuadratnya.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara menghitung probabilitas distribusi normal?
Ubah nilai tersebut menjadi skor-z menggunakan z = (x − rata-rata) / simpangan baku, lalu cari probabilitas kumulatif yang sesuai pada distribusi normal standar. Untuk nilai di bawah x, gunakan Φ(z) secara langsung; untuk di atas x, gunakan 1 − Φ(z); untuk rentang di antara x dan b, kurangi kedua probabilitas kumulatif tersebut.
Apa itu aturan empiris?
Aturan empiris (aturan 68-95-99,7) menyatakan bahwa untuk distribusi normal, sekitar 68,27% nilai berada dalam 1 simpangan baku dari rata-rata, sekitar 95,45% berada dalam 2 simpangan baku, dan sekitar 99,73% berada dalam 3 simpangan baku.
Apa itu skor-z?
Skor-z menyatakan berapa banyak simpangan baku suatu nilai berada dari rata-rata, dihitung sebagai z = (x − rata-rata) / simpangan baku. Ini adalah langkah antara yang digunakan kalkulator ini untuk mencari probabilitas pada distribusi normal standar.
Mengapa probabilitas dari nilai yang pasti selalu 0?
Distribusi normal bersifat kontinu, sehingga probabilitas hanya didefinisikan pada rentang, bukan titik tunggal. Menanyakan P(X = 120) secara tepat secara matematis bernilai 0; pertanyaan yang bermakna adalah P(X < 120), P(X > 120), atau P(a < X < b).
Apakah kalkulator ini berfungsi untuk semua dataset?
Hanya jika variabel yang mendasarinya mendekati distribusi normal. Banyak variabel di dunia nyata mendekati normal, tetapi data yang miring (skewed), terbatas (seperti jumlah atau proporsi), atau berekor tebal dapat memberikan probabilitas yang menyesatkan jika dipaksakan ke dalam kerangka ini.
Apa perbedaan antara mode 'di bawah' dan 'di antara'?
"Di bawah" melaporkan probabilitas kumulatif hingga satu nilai x, P(X < x). "Di antara" melaporkan probabilitas berada dalam suatu rentang, P(x < X < b), yang merupakan selisih antara dua probabilitas kumulatif dan memerlukan baik nilai bawah x maupun batas atas b.
Referensi
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).