Apa itu selang kepercayaan
Selang kepercayaan adalah rentang nilai yang masuk akal bagi suatu parameter populasi yang tidak diketahui — paling sering rata-rata atau proporsi populasi — yang dihitung dari sebuah sampel data. Selang itu dibangun di sekitar penaksir titik, misalnya rata-rata sampel, lalu direntangkan ke kedua arah sejauh margin galat, sehingga selang secara keseluruhan dirancang untuk menangkap nilai populasi yang sebenarnya namun tidak diketahui pada persentase tertentu, seandainya prosedur pengambilan sampel dan perhitungan yang sama diulang berkali-kali.
Persentase yang dipilih, disebut tingkat kepercayaan, paling lazim adalah 90%, 95%, atau 99%. Selang yang lebih lebar memberi keyakinan lebih besar bahwa ia menangkap nilai sebenarnya, tetapi harus ditebus dengan berkurangnya ketelitian; selang yang lebih sempit lebih teliti, namun datang dengan tingkat kepercayaan yang lebih rendah, atau menuntut sampel yang lebih besar untuk mempertahankan tingkat kepercayaan yang sama. Pertukaran antara ketelitian dan kepercayaan ini tidak terhindarkan dan menjadi kunci untuk menafsirkan setiap selang yang dilaporkan secara benar.
Salah tafsir yang umum atas “kepercayaan 95%”
Membaca selang kepercayaan 95% sebagai adanya peluang 95% bahwa nilai populasi yang sebenarnya terletak di dalam satu selang tertentu yang sudah terlanjur dihitung adalah salah tafsir yang umum sekaligus terdokumentasi dengan baik. Pembacaan itu tidak tepat secara teknis: begitu sebuah selang tertentu dihitung dari sebuah sampel tertentu, nilai populasi yang sebenarnya entah berada di dalamnya entah tidak — tidak tersisa keacakan apa pun yang bisa dilekati peluang untuk selang tunggal itu. Angka 95% menggambarkan tingkat keberhasilan jangka panjang dari metode yang dipakai membangun selang tersebut, di sepanjang banyak sampel berulang yang dibayangkan, bukan pernyataan peluang tentang satu selang setelah ia terbentuk.
Hoekstra dan rekan (2014), yang menerbitkan tulisannya di Psychonomic Bulletin and Review, mendokumentasikan bahwa pembedaan ini luas disalahpahami, termasuk di kalangan peneliti dan mahasiswa statistika, yang banyak di antaranya menafsirkan selang kepercayaan 95% sebagai langsung menggambarkan peluang bahwa nilai sebenarnya jatuh di dalam selang tertentu itu. Tafsir yang benar secara teknis menyangkut keandalan metode pada pengambilan sampel berulang, bukan pernyataan peluang tentang satu hasil yang sudah teramati.
Margin galat: batu bata penyusun selang kepercayaan
Margin galat adalah jarak perentangan selang kepercayaan ke masing-masing sisi penaksir titik, dan dihitung sebagai nilai kritis (z, untuk selang berbasis normal) dikalikan galat baku penaksirnya. Untuk sebuah rata-rata, galat bakunya adalah simpangan baku dibagi akar dari ukuran sampel: galat baku = simpangan baku / sqrt(n). Sampel yang lebih besar menciutkan galat baku, dan karena itu juga margin galat serta lebar selang secara keseluruhan, sebanding dengan akar dari n.
Nilai kritis z bergantung pada tingkat kepercayaan yang dipilih: 1,6449 untuk kepercayaan 90%, 1,96 untuk kepercayaan 95%, dan 2,5758 untuk kepercayaan 99%, masing-masing mewakili titik pada distribusi normal baku yang menyisakan total peluang bersangkutan di kedua ekornya. Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menuntut nilai kritis yang lebih besar, sehingga margin galat melebar dan selang yang dihasilkan pun ikut melebar, dengan faktor lain tetap sama.
Contoh perhitungan: menyusun selang kepercayaan 95% bagi rata-rata
Misalkan sebuah sampel berisi n = 100 pengamatan memiliki rata-rata 50 dan simpangan baku 8, dan dibutuhkan selang kepercayaan 95% bagi rata-rata populasi. Langkah 1: hitung galat bakunya, 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0,8. Langkah 2: hitung margin galat memakai nilai kritis 95%, yaitu 1,96 x 0,8 = 1,568. Langkah 3: tambahkan dan kurangkan margin galat itu terhadap rata-rata sampel: 50 - 1,568 = 48,432, dan 50 + 1,568 = 51,568.
Selang kepercayaan 95% yang dihasilkan adalah 48,432 hingga 51,568. Tafsir yang benar adalah: seandainya prosedur pengambilan sampel dan perhitungan yang sama diulang berkali-kali pada sampel-sampel baru berukuran 100 dari populasi yang sama, kira-kira 95% selang yang tersusun dengan cara ini akan memuat rata-rata populasi yang sebenarnya — bukan bahwa ada peluang 95% rata-rata sebenarnya terletak khusus di antara 48,432 dan 51,568 pada satu kasus ini.
Bagaimana tingkat kepercayaan dan ukuran sampel mengubah selang
Dengan sampel yang dipertahankan tetap (rata-rata 50, simpangan baku 8, n = 100), tabel di bawah ini memperlihatkan bagaimana data yang sama persis menghasilkan lebar selang yang berbeda semata-mata karena tingkat kepercayaan yang dipilih. Kepercayaan yang lebih tinggi selalu melebarkan selang, karena metode yang lebih andal — yang lebih sering berhasil pada pengambilan sampel berulang — mau tidak mau harus mencakup rentang nilai yang lebih luas.
| Tingkat kepercayaan | Nilai kritis z | Margin galat | Selang yang dihasilkan |
|---|---|---|---|
| 90% | 1,6449 | 1,316 | 48,684 hingga 51,316 |
| 95% | 1,96 | 1,568 | 48,432 hingga 51,568 |
| 99% | 2,5758 | 2,061 | 47,939 hingga 52,061 |
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa arti sebenarnya dari selang kepercayaan 95%?
Artinya, seandainya prosedur pengambilan sampel dan perhitungan yang sama diulang berkali-kali, kira-kira 95% selang yang dihasilkan akan memuat nilai populasi yang sebenarnya. Ini bukan berarti ada peluang 95% nilai sebenarnya jatuh di dalam satu selang tertentu yang sudah terlanjur dihitung — pembedaan yang didokumentasikan sebagai salah paham yang luas oleh Hoekstra dan rekan (2014) di Psychonomic Bulletin and Review.
Bagaimana menghitung selang kepercayaan 95% bagi sebuah rata-rata?
Hitung galat bakunya (simpangan baku dibagi akar dari ukuran sampel), kalikan dengan nilai kritis 95% sebesar 1,96 untuk memperoleh margin galat, lalu tambahkan dan kurangkan margin itu terhadap rata-rata sampel. Untuk sampel dengan rata-rata 50, simpangan baku 8, dan n = 100: galat baku = 0,8, margin galat = 1,568, sehingga selangnya 48,432 hingga 51,568.
Apa itu margin galat?
Margin galat adalah besaran yang ditambahkan pada dan dikurangkan dari sebuah penaksir titik, misalnya rata-rata sampel, untuk membentuk selang kepercayaan. Ia dihitung sebagai nilai kritis (yang bergantung pada tingkat kepercayaan yang dipilih) dikalikan galat baku penaksirnya. Margin galat yang lebih besar menghasilkan selang yang lebih lebar dan kurang teliti; margin galat yang lebih kecil menghasilkan selang yang lebih sempit dan lebih teliti.
Mengapa keliru mengatakan ada peluang 95% nilai sebenarnya ada di selang ini?
Karena begitu sebuah selang tertentu dihitung dari sebuah sampel tertentu, nilai populasi yang sebenarnya entah ada di dalamnya entah tidak — tidak tersisa keacakan apa pun yang bisa dilekati peluang. Angka 95% adalah sifat metode yang dipakai menyusun selang tersebut, yang menggambarkan seberapa sering metode itu berhasil pada banyak sampel berulang yang dibayangkan, bukan pernyataan peluang tentang satu selang yang sudah selesai dihitung.
Apakah ukuran sampel yang lebih besar mempersempit selang kepercayaan?
Ya. Galat baku, dan karena itu juga margin galat serta lebar selang secara keseluruhan, dihitung dengan membagi simpangan baku dengan akar dari ukuran sampel. Karena ukuran sampel masuk di bawah tanda akar, melipatempatkan ukuran sampel akan memangkas lebar selang menjadi separuhnya, sedangkan sampel yang lebih kecil menghasilkan selang yang lebih lebar dan kurang teliti pada tingkat kepercayaan yang sama.
Mengapa tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan selang yang lebih lebar?
Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi, misalnya 99% alih-alih 95%, menuntut nilai kritis yang lebih besar (2,5758 berbanding 1,96), yang menaikkan margin galat sehingga selang yang dihasilkan ikut melebar. Hal ini mencerminkan pertukaran yang tak terhindarkan: metode yang harus lebih sering berhasil pada pengambilan sampel berulang mau tidak mau mesti mencakup rentang nilai yang lebih luas.
Referensi
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.