Memahami z-score Anda
Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa z-score terpilih beserta persentil normal standarnya.
| Z-score | Persentil (persentase di bawahnya) | Interpretasi |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | Dua simpangan baku di bawah mean; tidak biasa rendahnya |
| -1 | 15,87% | Satu simpangan baku di bawah mean |
| 0 | 50% | Tepat di mean (dan median, untuk distribusi normal) |
| +1 | 84,13% | Satu simpangan baku di atas mean |
| +2 | 97,72% | Dua simpangan baku di atas mean; tidak biasa tingginya |
| +3 | 99,87% | Tiga simpangan baku di atas mean; jarang terjadi dalam kondisi normal |
- Persentil mengasumsikan distribusi yang mendasarinya kurang lebih normal. Untuk data yang miring atau berekor tebal, konversi z ke persentil tidak dapat diandalkan meskipun z-score itu sendiri terdefinisi dengan baik.
- Menurut aturan empiris, sekitar 68% dari distribusi normal berada dalam rentang z = -1 hingga +1, sekitar 95% dalam rentang -2 hingga +2, dan sekitar 99,7% dalam rentang -3 hingga +3.
- Z-score tidak mengatakan apa pun tentang apakah suatu nilai baik atau buruk — hanya seberapa jauh nilai itu berada dari mean distribusinya sendiri.
Apa itu z-score?
Z-score menstandardisasi suatu nilai dengan menyatakan jaraknya dari mean dalam satuan simpangan baku. Z-score 0 berarti nilai tersebut sama dengan mean; +1 berarti satu simpangan baku di atas mean; -2 berarti dua simpangan baku di bawahnya. Standardisasi ini menempatkan pengukuran dari skala yang berbeda pada dasar yang sama, sehingga z-score digunakan untuk membandingkan hasil tes, pengukuran pertumbuhan, dan nilai laboratorium di berbagai distribusi.
Ketika distribusi yang mendasarinya normal (berbentuk lonceng), z-score dapat langsung dipetakan ke persentil melalui fungsi distribusi kumulatif normal standar (CDF). CDF memberikan proporsi distribusi yang berada di bawah nilai z tertentu — misalnya, sekitar 84,13% dari distribusi normal berada di bawah z = 1, dan sekitar 97,72% di bawah z = 2. Kalkulator ini menghitung CDF normal standar dengan aproksimasi Abramowitz dan Stegun (formula 7.1.26), yang akurat hingga sekitar 7,5 x 10^-8.
Interpretasi persentil ini bergantung pada normalitas. Z-score dapat dihitung untuk data apa pun, tetapi mengonversinya menjadi persentil dengan CDF normal hanya akurat ketika distribusinya kurang lebih normal; untuk data yang miring (skewed) atau berekor tebal, persentil yang dinyatakan dapat menyesatkan.
Cara menggunakan kalkulator z-score ini
- Masukkan nilai (x) yang ingin Anda standardisasi — misalnya, skor tes individu.
- Masukkan mean dari distribusi asal nilai tersebut.
- Masukkan simpangan baku dari distribusi tersebut, yang harus lebih besar dari nol.
- Baca z-score, persentil (persentase distribusi di bawah nilai tersebut, dengan asumsi normalitas), dan persentase di atasnya.
Rumus z-score
Z-score adalah nilai dikurangi mean, dibagi dengan simpangan baku: z = (x - mean) / sd. Z positif berarti nilai tersebut berada di atas mean, z negatif berarti di bawahnya.
Contoh soal: x = 130, mean = 100, simpangan baku = 15 (skala IQ klasik). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Nilai tersebut berada tepat dua simpangan baku di atas mean. Dari CDF normal standar, proporsi di bawah z = 2 adalah 0,9772, sehingga nilai tersebut berada pada persentil ke-97,72 dan sekitar 2,28% dari distribusi berada di atasnya.
Persentil berasal dari fungsi distribusi kumulatif normal standar: persentil = CDF(z) x 100, dan persentase di atasnya = (1 - CDF(z)) x 100. CDF tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup; kalkulator ini menggunakan aproksimasi Abramowitz dan Stegun (1964) 7.1.26.
Kesalahan umum
- Mengonversi z-score menjadi persentil untuk data yang jelas tidak normal — pemetaan CDF normal mengasumsikan distribusi berbentuk lonceng.
- Tertukar arahnya: z-score negatif berarti nilai tersebut berada di bawah mean, bukan kesalahan atau hasil yang mustahil.
- Membagi dengan varians alih-alih simpangan baku — penyebut pada rumus z adalah simpangan baku.
- Menggunakan mean dan simpangan baku populasi dari satu kelompok untuk menstandardisasi nilai dari kelompok yang berbeda, yang menghasilkan perbandingan yang tidak bermakna.
- Mengacaukan persentil dengan skor persentase: berada pada persentil ke-97,7 berarti mendapat skor di atas sekitar 97,7% dari distribusi, bukan mendapat nilai 97,7% pada tes.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara menghitung z-score?
Kurangi mean dari nilai tersebut, lalu bagi dengan simpangan baku: z = (x - mean) / sd. Misalnya, skor 130 pada skala dengan mean 100 dan simpangan baku 15 menghasilkan z = (130 - 100) / 15 = 2, yang berarti skor tersebut dua simpangan baku di atas mean.
Persentil berapa untuk z-score 2?
Sekitar persentil ke-97,72. Fungsi distribusi kumulatif normal standar yang dievaluasi pada z = 2 adalah 0,9772, yang berarti 97,72% dari distribusi normal berada di bawah nilai tersebut dan 2,28% berada di atasnya.
Berapa z-score yang bagus?
Z-score adalah pengukuran yang netral, bukan nilai rapor — apakah suatu z tertentu diinginkan atau tidak sepenuhnya bergantung pada konteksnya. Z sebesar +2 sangat baik untuk skor tes, tetapi mengkhawatirkan untuk tekanan darah. Nilai di luar sekitar -2 atau +2 secara konvensional dianggap tidak biasa, karena kurang dari 5% dari distribusi normal berada di luar rentang tersebut.
Bisakah z-score bernilai negatif?
Bisa. Z-score negatif hanya berarti nilai tersebut berada di bawah mean. Misalnya, z = -1,5 menunjukkan nilai yang berada satu setengah simpangan baku di bawah mean, sekitar persentil ke-6,68 dari distribusi normal.
Apakah z-score memerlukan distribusi normal?
Z-score itu sendiri — jarak dari mean dalam satuan simpangan baku — terdefinisi untuk distribusi apa pun. Namun, mengonversi z-score menjadi persentil menggunakan CDF normal standar, seperti yang dilakukan kalkulator ini, hanya akurat ketika distribusinya kurang lebih normal. Untuk data yang miring, persentil sebaiknya dihitung langsung dari data.
Seberapa akurat persentil yang ditampilkan?
CDF normal standar tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup yang eksak, sehingga kalkulator ini menggunakan aproksimasi rasional Abramowitz dan Stegun (1964) 7.1.26, yang galat absolutnya di bawah 7,5 x 10^-8 — jauh lebih presisi daripada dua angka desimal yang ditampilkan.
Referensi
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).