Mean mana yang sebaiknya digunakan?
Setiap mean menjawab pertanyaan yang berbeda. Tabel di bawah merangkum kapan masing-masing menjadi ringkasan yang tepat.
| Mean | Digunakan ketika nilai digabungkan melalui | Aplikasi umum |
|---|---|---|
| Aritmatika | Penjumlahan | Nilai ujian, tinggi badan, suhu, rata-rata umum |
| Geometrik | Perkalian | Tingkat pertumbuhan, imbal hasil investasi, rasio, angka indeks |
| Harmonik | Kebalikan (laju) | Kecepatan rata-rata pada jarak yang sama, rasio harga terhadap laba, resistansi paralel |
- Mean geometrik dan harmonik hanya terdefinisi untuk nilai yang seluruhnya positif. Kalkulator ini mengabaikannya jika daftar mengandung nol atau angka negatif.
- Untuk kumpulan data yang seluruhnya positif, mean aritmatika >= mean geometrik >= mean harmonik, dengan kesetaraan hanya terjadi jika semua nilai sama (pertidaksamaan AM-GM-HM).
- Merata-ratakan tingkat pertumbuhan persentase dengan mean aritmatika melebih-lebihkan pertumbuhan kumulatif; mean geometrik dari faktor pertumbuhan memberikan tingkat konstan setara yang benar.
Apa itu mean aritmatika, geometrik, dan harmonik?
Mean aritmatika adalah jumlah nilai dibagi dengan banyaknya nilai. Ini adalah rata-rata yang tepat untuk besaran yang digabungkan melalui penjumlahan, seperti tinggi badan, nilai ujian, atau suhu, dan inilah yang dimaksud kebanyakan orang dengan 'rata-rata'.
Mean geometrik adalah akar ke-n dari hasil kali n nilai positif. Ini adalah rata-rata yang tepat untuk besaran yang digabungkan melalui perkalian, seperti tingkat pertumbuhan dan rasio: mean geometrik dari faktor pertumbuhan tahunan memberikan tingkat konstan yang akan menghasilkan pertumbuhan keseluruhan yang sama. Mean ini hanya terdefinisi untuk data yang seluruhnya positif, karena nilai nol membuat hasil kali menjadi nol dan nilai negatif dapat membuat akarnya tidak real.
Mean harmonik adalah banyaknya nilai dibagi dengan jumlah kebalikan (resiprokal) dari nilai-nilai tersebut. Ini adalah rata-rata yang tepat untuk laju dengan pembilang tetap, contoh klasiknya adalah kecepatan rata-rata pada jarak yang sama. Seperti mean geometrik, mean ini mensyaratkan semua nilai positif. Untuk kumpulan data yang seluruhnya positif, ketiga mean tersebut mengikuti pertidaksamaan: aritmatika >= geometrik >= harmonik, dengan kesetaraan hanya terjadi jika semua nilai identik.
Cara menggunakan kalkulator mean ini
- Masukkan angka Anda dipisahkan dengan ;, misalnya: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- Baca mean aritmatika, yang selalu ditampilkan.
- Jika semua nilai positif, baca juga mean geometrik dan harmonik; keduanya tidak terdefinisi jika daftar mengandung nol atau nilai negatif, sehingga dalam kasus itu tidak ditampilkan.
- Pilih mean yang sesuai dengan masalah Anda: aritmatika untuk besaran aditif, geometrik untuk tingkat pertumbuhan dan rasio, harmonik untuk laju seperti kecepatan pada jarak yang sama.
Rumus untuk ketiga mean
Mean aritmatika: jumlahkan n nilai lalu bagi dengan n. Mean geometrik: kalikan n nilai lalu ambil akar ke-n (dalam praktiknya dihitung sebagai eksponen dari mean logaritma). Mean harmonik: bagi n dengan jumlah kebalikan (resiprokal) nilai-nilainya.
Contoh perhitungan dengan nilai 1, 4, 16. Aritmatika: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Geometrik: hasil kalinya 1 x 4 x 16 = 64, dan akar pangkat tiga dari 64 adalah 4. Harmonik: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, kira-kira 2,285714. Perhatikan bahwa 7 >= 4 >= 2,285714, yang menggambarkan pertidaksamaan aritmatika-geometrik-harmonik.
Contoh kecepatan untuk mean harmonik: berkendara jarak yang sama pada 30 km/jam lalu 60 km/jam menghasilkan kecepatan rata-rata 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/jam, bukan mean aritmatika sebesar 45 km/jam, karena lebih banyak waktu dihabiskan pada kecepatan yang lebih lambat.
Kesalahan umum
- Menggunakan mean aritmatika untuk tingkat pertumbuhan: tahun +50% diikuti tahun -50% rata-rata aritmatikanya 0%, padahal investasinya turun 25% secara keseluruhan; mean geometrik dari faktor 1,5 dan 0,5 (sekitar 0,866) mencerminkan perubahan rata-rata yang sebenarnya.
- Merata-ratakan kecepatan pada jarak yang sama dengan mean aritmatika — tahap dengan jarak yang sama memerlukan mean harmonik.
- Menerapkan mean geometrik atau harmonik pada data yang mengandung nol atau nilai negatif, di mana keduanya tidak terdefinisi.
- Mengharapkan ketiga mean sama — ketiganya hanya sama jika setiap nilai dalam daftar identik.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa perbedaan antara mean aritmatika dan mean geometrik?
Mean aritmatika menjumlahkan nilai lalu membaginya dengan banyaknya data; mean geometrik mengalikan nilai lalu mengambil akar ke-n. Mean aritmatika cocok untuk besaran yang digabungkan melalui penjumlahan, sedangkan mean geometrik cocok untuk besaran yang digabungkan melalui perkalian, seperti faktor pertumbuhan. Untuk nilai 1, 4, dan 16, mean aritmatikanya 7 dan mean geometriknya 4.
Kapan saya sebaiknya menggunakan mean harmonik?
Gunakan mean harmonik untuk merata-ratakan laju ketika pembilangnya tetap — contoh klasiknya adalah kecepatan rata-rata pada jarak yang sama. Berkendara jarak yang sama pada 30 km/jam dan 60 km/jam rata-ratanya 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/jam, bukan 45 km/jam, karena lebih banyak waktu dihabiskan pada kecepatan yang lebih lambat. Mean harmonik juga muncul dalam merata-ratakan rasio harga terhadap laba dan menggabungkan resistansi listrik paralel.
Mengapa kalkulator ini terkadang hanya menampilkan mean aritmatika?
Mean geometrik dan harmonik hanya terdefinisi jika setiap nilai dalam daftar positif. Nol membuat mean geometrik runtuh menjadi nol dan mean harmonik tidak terdefinisi (pembagian dengan nol), dan nilai negatif dapat membuat akar ke-n dari hasil kali menjadi tidak real. Jika daftar mengandung nol atau nilai negatif, hanya mean aritmatika yang dilaporkan.
Mengapa mean geometrik tepat untuk imbal hasil investasi?
Imbal hasil investasi bergabung secara multiplikatif (compounding). Jika suatu portofolio tumbuh dengan faktor 1,5 (naik 50%) dan 0,5 (turun 50%) pada tahun-tahun berturut-turut, faktor keseluruhannya adalah 1,5 x 0,5 = 0,75. Mean geometrik dari faktor-faktor tersebut, sqrt(0,75), kira-kira 0,866, adalah faktor tahunan konstan yang menghasilkan hasil yang sama — kerugian rata-rata sekitar 13,4% per tahun, yang sama sekali tidak tertangkap oleh mean aritmatika sebesar 0%.
Apakah mean aritmatika selalu menjadi yang terbesar dari ketiga mean?
Untuk kumpulan data bilangan positif, ya: mean aritmatika lebih besar atau sama dengan mean geometrik, yang lebih besar atau sama dengan mean harmonik. Kesetaraan hanya terjadi jika semua nilai identik. Ini adalah pertidaksamaan AM-GM-HM, hasil standar dalam aljabar klasik.
Referensi
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).