Dua rumus, satu perbedaan kecil yang menentukan
Kedua rumus simpangan baku berangkat dari langkah yang persis sama: hitung rata-rata data, kurangkan rata-rata itu dari setiap nilai, kuadratkan tiap selisihnya, lalu jumlahkan semua kuadrat tersebut. Perbedaannya baru muncul pada langkah pembagian terakhir. Simpangan baku populasi, yang dilambangkan dengan huruf Yunani sigma, membagi jumlah kuadrat simpangan itu dengan n — banyaknya seluruh nilai — kemudian diakarkan. Simpangan baku sampel, dilambangkan s, membagi jumlah yang sama dengan n − 1, baru kemudian diakarkan; penyesuaian inilah yang dikenal sebagai koreksi Bessel.
Karena n − 1 selalu merupakan pembagi yang lebih kecil daripada n (untuk n lebih dari 1), simpangan baku sampel selalu sedikit lebih besar daripada simpangan baku populasi yang dihitung dari angka yang persis sama. Keduanya bukan dua metode yang bersaing untuk pertanyaan yang sama; keduanya menjawab dua pertanyaan berbeda atas data yang sama, sehingga memilih rumus yang keliru akan menghasilkan jawaban yang bias secara sistematis terhadap pertanyaan yang sebenarnya ingin Anda ajukan.
Contoh perhitungan: delapan angka yang sama, dua jawaban
Ambil himpunan data 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). Langkah 1: rata-ratanya adalah (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Langkah 2: simpangan terhadap rata-rata berturut-turut adalah -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, dan setelah dikuadratkan menjadi 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, yang berjumlah 32. Dari satu jumlah kuadrat simpangan inilah kedua rumus baru berpisah, tepat pada pembagian terakhir.
Simpangan baku populasi: bagi 32 dengan n = 8, sehingga varians populasinya 4, dan akar dari 4 adalah tepat 2. Simpangan baku sampel: bagi angka 32 yang sama dengan n − 1 = 7, sehingga varians sampelnya 32 / 7 = 4,571429 (dibulatkan ke enam angka desimal), dan akar dari 4,571429 kira-kira 2,13809. Tabel di bawah ini menyandingkan kedua perhitungan itu berdampingan, berangkat dari jumlah awal yang sama.
| Langkah | Bentuk populasi (bagi dengan n) | Bentuk sampel (bagi dengan n - 1) |
|---|---|---|
| Jumlah kuadrat simpangan | 32 | 32 |
| Pembagi | n = 8 | n - 1 = 7 |
| Varians | 32 / 8 = 4 | 32 / 7 = 4,571429 |
| Simpangan baku | √4 = 2 | √4,571429 ≈ 2,13809 |
Mengapa dibagi n − 1? Koreksi Bessel dijelaskan
Rata-rata sampel yang dipakai di dalam perhitungan simpangan itu sendiri dihitung dari data yang sebarannya sedang diukur, dan secara matematis ia dijamin merupakan nilai yang meminimumkan jumlah kuadrat simpangan untuk sampel tersebut. Karena itu, kuadrat simpangan yang diukur di sekitar rata-rata sampel rata-rata sedikit lebih kecil daripada kuadrat simpangan yang akan terukur di sekitar rata-rata populasi yang sebenarnya namun tidak diketahui — sehingga membagi dengan n saja secara sistematis meremehkan varians populasi ketika kita bekerja dari sebuah sampel.
Membagi dengan n − 1, bukan n, menggelembungkan hasilnya persis secukupnya untuk mengoreksi bias ke bawah tersebut secara rata-rata, sehingga varians sampel menjadi penaksir tak bias bagi varians populasi pada pengambilan sampel berulang. Koreksi ini dinamai koreksi Bessel, mengikuti nama astronom sekaligus matematikawan abad ke-19, Friedrich Bessel. Pengaruhnya paling besar pada sampel kecil — untuk n = 8, pembagi 8 dan 7 berselisih 12,5% — lalu menyusut hingga dapat diabaikan seiring n membesar ke ratusan atau ribuan, karena n dan n − 1 makin berimpit secara proporsional.
Data Anda populasi atau sampel?
Pakai simpangan baku populasi (bagi dengan n) hanya bila himpunan data Anda memang seluruh kelompok yang Anda pedulikan, tanpa niat menggeneralisasi ke luar kelompok itu — misalnya usia setiap pemain yang saat ini tergabung dalam satu tim olahraga tertentu, atau nilai ujian setiap siswa di satu kelas tertentu, ketika pertanyaannya memang hanya tentang tim atau kelas itu dan bukan lingkup yang lebih luas.
Pakai simpangan baku sampel (bagi dengan n − 1) setiap kali data Anda merupakan bagian yang diambil dari, atau dimaksudkan mewakili, populasi lebih besar yang ingin Anda simpulkan — misalnya survei terhadap 500 pelanggan untuk menaksir tingkat kepuasan seluruh pelanggan, peserta uji klinis untuk menaksir efek pada populasi pasien yang lebih luas, atau sekumpulan pengukuran kendali mutu untuk menggambarkan satu lini produksi secara keseluruhan. Situasi inilah yang jauh lebih sering dijumpai dalam statistika terapan, dan karena itu sebagian besar perangkat lunak statistik memakai rumus sampel (n − 1) sebagai bawaan kecuali diperintahkan lain.
Seberapa besar pengaruh pilihan ini sebenarnya?
Pada sampel yang sangat kecil, jarak antara kedua rumus terhitung besar secara proporsional, sehingga salah pilih bisa cukup nyata mendistorsi hasil turunannya, termasuk selang kepercayaan dan skor-z yang dibangun langsung di atas simpangan baku. Pada contoh n = 8 di atas, nilai sampel (2,13809) sekitar 6,9% lebih besar daripada nilai populasi (2) — selisih yang cukup untuk menggeser lebar selang kepercayaan dengan besaran serupa.
Seiring ukuran sampel membesar, n dan n − 1 makin berdekatan secara proporsional dan kedua simpangan baku pun berimpit: untuk sampel berukuran 1.000, membagi dengan 999 alih-alih 1.000 hanya mengubah hasil sekitar 0,05%. Pada sampel besar, pilihan ini jarang mengubah kesimpulan praktis, tetapi kaidah yang benar tetap layak diterapkan — demi konsistensi dengan praktik statistik baku, dan karena kasus sampel kecil, tempat selisihnya paling terasa, justru saat ketepatan itu paling menentukan.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa beda simpangan baku sampel dan populasi?
Simpangan baku populasi membagi jumlah kuadrat simpangan terhadap rata-rata dengan n (banyaknya nilai) dan tepat dipakai bila himpunan data memang seluruh populasi yang diminati. Simpangan baku sampel membagi jumlah yang sama dengan n − 1 dan tepat dipakai bila data merupakan sampel untuk menaksir populasi yang lebih besar. Untuk data yang identik, nilai sampel selalu sedikit lebih besar daripada nilai populasi, karena pembaginya lebih kecil.
Mengapa untuk sampel kita membagi dengan n − 1?
Karena rata-rata sampel dihitung dari data yang sama dengan data yang sebarannya diukur, secara matematis ia adalah nilai yang meminimumkan jumlah kuadrat simpangan untuk sampel itu, sehingga simpangan-simpangan tersebut sistematis sedikit lebih kecil daripada simpangan terhadap rata-rata populasi yang sebenarnya. Membagi dengan n − 1 alih-alih n — koreksi yang dikenal sebagai koreksi Bessel — mengimbangi hal ini dan menjadikan varians sampel sebagai penaksir tak bias bagi varians populasi.
Mana yang harus saya pakai untuk survei atau eksperimen?
Pakai simpangan baku sampel (n − 1) setiap kali data Anda merupakan bagian yang dimaksudkan mewakili populasi yang lebih besar — dan itu mencakup sebagian besar survei, eksperimen, serta sampel kendali mutu. Pakai simpangan baku populasi (n) hanya bila himpunan data Anda adalah kelompok lengkap yang sedang Anda pelajari, tanpa niat menggeneralisasi ke apa pun di luarnya.
Seberapa berbeda kedua jawaban itu dalam praktik?
Untuk contoh perhitungan tadi (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9; n = 8), simpangan baku populasinya tepat 2 dan simpangan baku sampelnya sekitar 2,13809, yaitu selisih sekitar 6,9%. Jaraknya menyusut seiring bertambahnya ukuran sampel: untuk n = 1.000, membagi dengan 999 alih-alih 1.000 hanya mengubah hasil sekitar 0,05%, sehingga pilihan itu jauh kurang berarti pada sampel besar.
Apakah koreksi n − 1 juga memengaruhi rata-rata?
Tidak. Rata-rata selalu berupa jumlah nilai dibagi banyaknya nilai, n, terlepas dari apakah data mewakili sampel atau populasi; koreksi Bessel hanya berlaku pada perhitungan simpangan baku dan varians, bukan pada rata-rata itu sendiri.
Referensi
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.