σ मानक विचलन कैलकुलेटर

अपने मानक विचलन को समझना

लगभग सामान्य (घंटी-आकार) डेटा के लिए, अनुभवजन्य नियम बताता है कि माध्य से मानक विचलनों की दी गई संख्या के भीतर कितना डेटा आता है।

• 68-95-99.7 अनुभवजन्य नियम लगभग सामान्य बंटनों पर लागू होता है; अत्यधिक तिरछा या भारी-पूंछ वाला डेटा इन प्रतिशतों से काफी अलग हो सकता है।
• जब डेटा किसी बड़ी समष्टि के बारे में अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया गया प्रतिदर्श हो तो प्रतिदर्श रूप (n - 1) उपयोग करें; समष्टि रूप (n) केवल तब उपयोग करें जब डेटा सेट पूरी संबंधित समष्टि हो।
• मानक विचलन आउटलायर्स के प्रति संवेदनशील है क्योंकि विचलनों का वर्ग किया जाता है; एक अकेला अत्यधिक मूल्य इसे काफी बढ़ा सकता है।
• इस कैलकुलेटर के लिए कम से कम दो मूल्य चाहिए, क्योंकि एक अकेले अवलोकन से फैलाव का अनुमान नहीं लगाया जा सकता।

मानक विचलन क्या है?

मानक विचलन बताता है कि डेटा मूल्य अपने माध्य से आमतौर पर कितनी दूरी पर हैं। छोटा मानक विचलन बताता है कि मूल्य माध्य के आसपास कसकर इकट्ठे हैं; बड़ा मानक विचलन बताता है कि वे व्यापक रूप से बिखरे हैं। इसे डेटा की उसी इकाई में व्यक्त किया जाता है, जिससे इसे प्रसरण (इसका वर्ग) से समझना आसान होता है।

मुख्य शिक्षण बिंदु प्रतिदर्श और समष्टि रूपों के बीच का फर्क है। समष्टि मानक विचलन (सिग्मा) वर्ग विचलनों के योग को n से भाग देता है, और यह तभी सही होता है जब डेटा सेट पूरी संबंधित समष्टि हो — उदाहरण के लिए, किसी एक विशेष कक्षा के हर छात्र के परीक्षा अंक। प्रतिदर्श मानक विचलन (s) इसके बजाय n - 1 से भाग देता है, और यह तब सही होता है जब डेटा किसी बड़ी समष्टि के फैलाव का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया गया प्रतिदर्श हो।

n - 1 से भाग देना बेसल का सुधार (Bessel's correction) कहलाता है। चूंकि प्रतिदर्श माध्य उसी डेटा से निकाला जाता है, उसके आसपास के विचलन वास्तविक (अज्ञात) समष्टि माध्य के आसपास के विचलनों से व्यवस्थित रूप से थोड़े छोटे होते हैं; n के बजाय n - 1 से भाग देने से यह भरपाई होती है और प्रतिदर्श प्रसरण समष्टि प्रसरण का निष्पक्ष आकलक बन जाता है। यह सुधार छोटे प्रतिदर्शों के लिए सबसे ज़्यादा मायने रखता है और n के बड़े होने पर नगण्य हो जाता है।

इस मानक विचलन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. कम से कम दो संख्याएं ; से अलग करके दर्ज करें, उदाहरण के लिए: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16।
2. अगर आपका डेटा किसी बड़ी समष्टि से लिया गया प्रतिदर्श है — जो सर्वेक्षणों, प्रयोगों और गुणवत्ता जांच में सामान्य स्थिति है — तो प्रतिदर्श मानक विचलन (s) पढ़ें।
3. अगर आपका डेटा पूरी संबंधित समष्टि है, तो समष्टि मानक विचलन (सिग्मा) पढ़ें।
4. गणना जांचने या इसे विश्वास अंतराल और Z-स्कोर जैसे आगे के विश्लेषण में ले जाने के लिए माध्य, प्रतिदर्श प्रसरण और गिनती का उपयोग करें।

मानक विचलन फॉर्मूले

दोनों रूप एक ही तरह से शुरू होते हैं: माध्य निकालें, हर मूल्य में से इसे घटाएं, हर विचलन का वर्ग करें, और वर्गों को जोड़ें। समष्टि रूप उस योग को n से भाग देता है और वर्गमूल लेता है; प्रतिदर्श रूप n - 1 से भाग देता है और वर्गमूल लेता है।

उदाहरण: मूल्य 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9। स्टेप 1 — माध्य: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5। स्टेप 2 — वर्ग विचलन: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, जिनका योग 32 है। स्टेप 3 (समष्टि) — 32 / 8 = 4, और sqrt(4) = 2। स्टेप 4 (प्रतिदर्श) — 32 / 7 = 4.571429 (प्रतिदर्श प्रसरण), और sqrt(4.571429) = 2.13809 (पूर्णांकित)।

एक ही डेटा के लिए प्रतिदर्श मूल्य हमेशा समष्टि मूल्य से थोड़ा बड़ा होता है, क्योंकि यह छोटी संख्या से भाग देता है — अपवाद तब है जब सभी मान समान हों, तब दोनों शून्य होते हैं। प्रतिदर्श बढ़ने पर यह अंतर घटता जाता है।

आम गलतियां

• प्रतिदर्श डेटा पर समष्टि फॉर्मूला (n से भाग) उपयोग करना — यह उस समष्टि के फैलाव को व्यवस्थित रूप से कम बताता है जिससे प्रतिदर्श लिया गया; प्रतिदर्शों के लिए n - 1 से भाग दें।
• प्रसरण को मानक विचलन के साथ गड्ड-मड्ड करना: प्रसरण मानक विचलन का वर्ग है और वर्ग इकाइयों में व्यक्त होता है।
• स्पष्ट रूप से तिरछे या भारी-पूंछ वाले डेटा पर 68-95-99.7 नियम लागू करना, जहां यह लागू नहीं होता।
• अलग-अलग इकाइयों या बहुत अलग स्केल पर मापे गए डेटा सेट के मानक विचलनों की बिना मानकीकृत किए तुलना करना (सापेक्ष फैलाव के लिए, विचरण गुणांक माध्य से भाग देता है)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

संदर्भ

1. National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
2. Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
3. Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.