Z-स्कोर और प्रतिशतक को समझना

z-स्कोर फॉर्मूला: किसी मान को मानकीकृत करना

z-स्कोर, जिसे मानक स्कोर भी कहते हैं, किसी कच्चे मान को इस माप में बदल देता है कि वह मान अपने वितरण के माध्य से कितनी दूर है, जिसे मूल इकाइयों के बजाय मानक विचलन की इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। फॉर्मूला है z = (x - माध्य) / मानक विचलन, जहां x वह मान है जिसे मानकीकृत किया जा रहा है। 0 का z-स्कोर मतलब मान ठीक माध्य के बराबर है; धनात्मक z-स्कोर मतलब मान माध्य से ऊपर है; ऋणात्मक z-स्कोर मतलब मान माध्य से नीचे है।

इस तरह मानों को मानकीकृत करने से अलग-अलग स्केल या अलग-अलग वितरणों से आए मापों की तुलना करना संभव हो जाता है -- उदाहरण के लिए, अलग-अलग माध्य और फैलाव वाले दो अलग-अलग टेस्ट में किसी छात्र के प्रदर्शन की तुलना करना, या किसी व्यक्तिगत प्रयोगशाला परिणाम की एक संदर्भ सीमा के साथ तुलना करना। चूंकि z-स्कोर मूल इकाइयों और मूल स्केल दोनों को हटा देता है, इसलिए +1 का z-स्कोर हमेशा एक ही सापेक्ष चीज़ दर्शाता है (जिस भी वितरण से यह आया हो उसके माध्य से एक मानक विचलन ऊपर), चाहे जो भी मापा जा रहा हो।

'माध्य से दो मानक विचलन ऊपर' का क्या मतलब है?

यह कहना कि कोई मान माध्य से दो मानक विचलन ऊपर है, बस यह कहने का एक और तरीका है कि उसका z-स्कोर +2 है: यह मान एक सामान्य अवलोकन की तुलना में माध्य से अधिक दूर है, इस दूरी की मात्रा वितरण के मानक विचलन की दोगुनी है। चूंकि मानक विचलन डेटा के सामान्य फैलाव को मापता है, इसलिए 2 या उससे अधिक (या -2 या उससे कम) का z-स्कोर आम तौर पर असामान्य माना जाता है, क्योंकि लगभग सामान्य वितरण में अपेक्षाकृत कम अवलोकन केंद्र से इतनी दूर होते हैं।

यह वाक्यांश वितरण के भीतर स्थिति का पूरी तरह वर्णनात्मक है -- यह स्वयं यह नहीं बताता कि माध्य से दो मानक विचलन ऊपर होना अच्छा है, बुरा है, या तटस्थ है। किसी टेस्ट-स्कोर वितरण पर +2 का z-स्कोर आम तौर पर एक मजबूत परिणाम दर्शाता है, जबकि रक्तचाप वितरण पर +2 का z-स्कोर आम तौर पर एक ऐसी रीडिंग दर्शाता है जो सामान्य से काफी ऊपर है और क्लिनिकल ध्यान देने लायक है। z-स्कोर माध्य से दूरी बताता है; उस दूरी का क्या मतलब है यह हमेशा इस पर निर्भर करता है कि क्या मापा जा रहा है।

मानक सामान्य वितरण और प्रतिशतक

जब अंतर्निहित डेटा लगभग सामान्य (घंटी-आकार का) हो, तो z-स्कोर को मानक सामान्य संचयी वितरण फलन का उपयोग करके एक प्रतिशतक में बदला जा सकता है, जो किसी दिए गए z-स्कोर से नीचे स्थित वितरण के अनुपात को बताता है। यह रूपांतरण ही किसी z-स्कोर को 'यह मान वितरण के लगभग X% से अधिक है' के रूप में दोबारा बताना संभव बनाता है। नीचे दी गई तालिका -2 से +3 तक पूर्णांक z-स्कोर के लिए मानक, सुस्थापित प्रतिशतक सूचीबद्ध करती है।

वर्कड उदाहरण: कच्चे स्कोर को प्रतिशतक में बदलना

माध्य 100 और मानक विचलन 15 (IQ स्कोर के लिए उपयोग होने वाला क्लासिक स्केल) वाले वितरण से x = 130 का एक मान लें। चरण 1: z-स्कोर की गणना करें, z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. चरण 2: मानक सामान्य वितरण पर z = 2 देखें, जो 97.72वें प्रतिशतक के बराबर है, यानी वितरण का लगभग 97.72% भाग 130 के मान पर या उससे नीचे स्थित है, और लगभग 2.28% भाग उससे ऊपर है।

उसी स्केल पर एक दूसरा उदाहरण: x = 85 के मान का z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1 है, जो 15.87वें प्रतिशतक के बराबर है -- यानी यह मान वितरण के लगभग 84.13% से नीचे और लगभग 15.87% से ऊपर स्थित है। दोनों ही मामलों में, पूरी गणना दो चरणों तक सिमट जाती है: मान को z-स्कोर में मानकीकृत करें, फिर मानक सामान्य वितरण से उसका संगत प्रतिशतक पढ़ें।

68-95-99.7 प्रायोगिक नियम

लगभग सामान्य डेटा के लिए, प्रायोगिक नियम (जिसे कभी-कभी 68-95-99.7 नियम कहा जाता है) पूरी प्रतिशतक तालिका देखे बिना यह जल्दी अंदाज़ा लगाने का एक तरीका देता है कि कोई z-स्कोर कितना असामान्य है: लगभग 68% मान माध्य के एक मानक विचलन के भीतर आते हैं (z, -1 और +1 के बीच), लगभग 95% मान दो मानक विचलन के भीतर आते हैं (z, -2 और +2 के बीच), और लगभग 99.7% मान तीन मानक विचलन के भीतर आते हैं (z, -3 और +3 के बीच)।

यह नियम ऊपर दी गई प्रतिशतक तालिका से सीधे निकलता है: z = -1 और z = +1 के बीच का हिस्सा 84.13% - 15.87% = 68.26% है, z = -2 और z = +2 के बीच का हिस्सा 97.72% - 2.28% = 95.44% है, और z = -3 और z = +3 के बीच का हिस्सा 99.87% - 0.13% = 99.74% है -- ये सभी सामान्यतः बताए जाने वाले 68%, 95% और 99.7% के अनुमानों से मेल खाते हैं। यह नियम केवल तभी लागू होता है जब अंतर्निहित वितरण लगभग सामान्य हो; तिरछा या भारी-पूंछ वाला डेटा इन अनुपातों से काफी अलग हो सकता है, भले ही उनके लिए भी z-स्कोर की गणना की जा सकती हो।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

संदर्भ

1. Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
2. National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
3. Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).