एक विश्वास अंतराल का वास्तव में क्या मतलब है
विश्वास अंतराल मूल्यों की एक रेंज है, जिसकी गणना सैंपल डेटा से की जाती है, और जिसे एक ऐसी पद्धति का उपयोग करके बनाया जाता है जिसके बारे में यह अपेक्षा की जाती है कि यह दोहराए गए सैंपलों के एक निर्दिष्ट प्रतिशत -- सबसे आम तौर पर 95% -- में वास्तविक जनसंख्या पैरामीटर को शामिल करेगी। 95% विश्वास अंतराल का मतलब यह नहीं है कि वास्तविक जनसंख्या मूल्य के उस एक विशिष्ट परिकलित अंतराल के भीतर होने की 95% संभावना है; वास्तविक मूल्य किसी दिए गए अंतराल के भीतर या तो होता है या नहीं होता, और संभावना बार-बार सैंपलिंग में पद्धति के दीर्घकालिक प्रदर्शन पर लागू होती है, न कि गणना किए जा चुके किसी एक निश्चित अंतराल पर।
होकस्ट्रा और सहयोगियों (2014) ने, Psychonomic Bulletin and Review में प्रकाशित अपने शोध में, दस्तावेज किया कि यह अंतर व्यापक रूप से गलत समझा जाता है, जिसमें शोधकर्ता और सांख्यिकी के छात्र भी शामिल हैं, जिनमें से कई ने 95% विश्वास अंतराल की व्याख्या ऐसे की मानो यह सीधे उस संभावना का वर्णन करता हो कि वास्तविक मूल्य उस विशिष्ट अंतराल के भीतर आता है। तकनीकी रूप से सही व्याख्या कई काल्पनिक दोहराए गए सैंपलों में अंतराल बनाने के लिए उपयोग की गई पद्धति की विश्वसनीयता के बारे में एक कथन है, न कि पहले से देखे गए एक अंतराल के बारे में एक संभावना कथन।
विश्वास अंतराल की चौड़ाई किस पर निर्भर करती है?
विश्वास अंतराल की चौड़ाई मुख्य रूप से तीन कारकों पर निर्भर करती है: वांछित विश्वास स्तर (आमतौर पर 90%, 95% या 99%), अंतर्निहित डेटा की परिवर्तनशीलता (आमतौर पर स्टैंडर्ड डेविएशन द्वारा, या अनुपातों के लिए, p यानी अनुमानित अनुपात द्वारा मापी जाती है), और नमूना आकार। विश्वास स्तर बढ़ाने से अंतराल चौड़ा होता है, क्योंकि दोहराए गए सैंपलों में वास्तविक मूल्य को अधिक विश्वसनीय रूप से शामिल करने के लिए एक व्यापक रेंज की आवश्यकता होती है। नमूना आकार बढ़ाने से अंतराल संकरा होता है, क्योंकि बड़े सैंपल जनसंख्या मूल्य के अधिक सटीक अनुमान देते हैं।
किसी अनुपात के लिए, विश्वास अंतराल में त्रुटि की सीमा की गणना z x sqrt[p(1-p)/n] के रूप में की जाती है, जहां z वांछित विश्वास स्तर से जुड़ा z-स्कोर है (95% विश्वास के लिए 1.96), p अनुमानित अनुपात है (जब वास्तविक अनुपात अज्ञात हो तो 0.5 का उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह सबसे बड़ी, सबसे रूढ़िवादी (कंज़र्वेटिव) त्रुटि की सीमा देता है), और n नमूना आकार है। क्योंकि इस फॉर्मूले में नमूना आकार एक वर्गमूल के नीचे आता है, त्रुटि की सीमा को आधा करने के लिए नमूना आकार को केवल दोगुना करने के बजाय लगभग चार गुना करने की आवश्यकता होती है।
नमूना आकार के लिए कोक्रन फॉर्मूला
सांख्यिकीविद विलियम कोक्रन द्वारा उनकी पुस्तक Sampling Techniques में प्रकाशित कोक्रन फॉर्मूला, किसी सर्वे या अध्ययन के लिए आवश्यक न्यूनतम नमूना आकार का अनुमान लगाने की एक पद्धति प्रदान करता है, जिसकी गणना n0 = (z^2 x p(1-p)) / e^2 के रूप में की जाती है, जहां z वांछित विश्वास स्तर के लिए z-स्कोर है, p अनुमानित अनुपात है (अज्ञात होने पर 0.5), और e वांछित त्रुटि की सीमा है, जिसे दशमलव के रूप में व्यक्त किया जाता है। 95% विश्वास स्तर (z = 1.96), 5% त्रुटि की सीमा (e = 0.05), और अधिकतम परिवर्तनशीलता (p = 0.5) के लिए, फॉर्मूला n0 = (1.96^2 x 0.5 x 0.5) / 0.05^2 = 384.16 देता है, जिसे राउंड करके 385 उत्तरदाता किया जाता है।
जब एक प्रभावी रूप से अनंत जनसंख्या के बजाय एक ज्ञात, सीमित (फाइनाइट) जनसंख्या से सैंपलिंग की जाती है, तो कोक्रन के फॉर्मूले में एक फाइनाइट पॉपुलेशन करेक्शन शामिल होता है: n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N), जहां N कुल जनसंख्या का आकार है। उदाहरण के लिए, 2,000 की जनसंख्या पर यह करेक्शन लागू करने से आवश्यक नमूना आकार 385 से घटकर लगभग 323 हो जाता है, क्योंकि एक छोटी कुल जनसंख्या को समान त्रुटि की सीमा हासिल करने के लिए आनुपातिक रूप से कम उत्तरदाताओं की आवश्यकता होती है।
नमूना आकार, विश्वास स्तर और त्रुटि की सीमा: वर्कड तुलना
नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि एक बड़ी या अनंत जनसंख्या के लिए p = 0.5 के साथ कोक्रन फॉर्मूला का उपयोग करके गणना किया गया आवश्यक नमूना आकार, वांछित विश्वास स्तर और त्रुटि की सीमा में बदलाव के साथ कैसे बदलता है। उच्च विश्वास स्तर और छोटी त्रुटि की सीमा दोनों आवश्यक नमूना आकार को बढ़ाते हैं, जिसमें त्रुटि की सीमा का विशेष रूप से बड़ा प्रभाव होता है क्योंकि यह फॉर्मूले के हर में वर्ग के रूप में आता है।
| विश्वास स्तर | त्रुटि की सीमा | z-स्कोर | आवश्यक नमूना आकार (p = 0.5) |
|---|---|---|---|
| 90% | 5% | 1.645 | 271 |
| 95% | 5% | 1.96 | 385 |
| 95% | 3% | 1.96 | 1,068 |
| 99% | 5% | 2.576 | 664 |
'95% विश्वास' की सामान्य गलत व्याख्याएं
ऊपर वर्णित मुख्य संभावना संबंधी गलत व्याख्या से परे, विश्वास अंतराल की कई संबंधित गलत व्याख्याएं शोध रिपोर्टिंग और सार्वजनिक संचार में अक्सर दिखाई देती हैं। एक आम गलती 95% विश्वास अंतराल को इस अर्थ में लेना है कि सैंपल के 95% व्यक्तिगत डेटा पॉइंट उस रेंज के भीतर आते हैं; एक विश्वास अंतराल किसी जनसंख्या पैरामीटर, जैसे मीन या अनुपात, के बारे में अनिश्चितता का वर्णन करता है, न कि व्यक्तिगत अवलोकनों के फैलाव का, जिसे इसके बजाय स्टैंडर्ड डेविएशन या एक प्रेडिक्शन इंटरवल द्वारा वर्णित किया जाता है।
एक अन्य आम गलती यह मान लेना है कि एक संकरा विश्वास अंतराल हमेशा एक अधिक महत्वपूर्ण या अधिक विश्वसनीय निष्कर्ष को दर्शाता है, बिना इफेक्ट साइज़ या अनुमान के व्यावहारिक महत्व पर विचार किए; एक बहुत बड़ा सैंपल एक ऐसे प्रभाव के आसपास एक संकरा विश्वास अंतराल दे सकता है जो सांख्यिकीय रूप से सटीक लेकिन व्यावहारिक रूप से नगण्य है। एक तीसरी आम गलती दो विश्वास अंतरालों की तुलना करना है जो ओवरलैप करते हैं और यह मान लेना कि उनके अंतर्निहित मूल्य महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं हैं, या यह कि गैर-ओवरलैपिंग अंतराल हमेशा एक महत्वपूर्ण अंतर की पुष्टि करते हैं; दो अनुमानों के बीच के अंतर का औपचारिक रूप से परीक्षण करने के लिए आमतौर पर केवल अंतराल ओवरलैप की दृश्य तुलना के बजाय एक समर्पित सांख्यिकीय परीक्षण की आवश्यकता होती है।
नमूना आकार चुनने के लिए व्यावहारिक मार्गदर्शन
शोधकर्ता और सर्वे डिज़ाइनर आमतौर पर उस निर्णय के लिए आवश्यक सटीकता के आधार पर एक लक्ष्य विश्वास स्तर और त्रुटि की सीमा चुनते हैं जिसे डेटा सूचित करेगा, फिर डेटा संग्रह शुरू होने से पहले संगत न्यूनतम नमूना आकार की गणना करने के लिए कोक्रन के फॉर्मूले जैसे किसी फॉर्मूले का उपयोग करते हैं। 5% त्रुटि की सीमा के साथ 95% विश्वास स्तर सर्वे शोध और ओपिनियन पोलिंग में एक सामान्य डिफ़ॉल्ट है, जो एक उचित रूप से सटीक अनुमान को एक व्यावहारिक, प्राप्त करने योग्य नमूना आकार के साथ संतुलित करता है।
जब अनुमानित अनुपात (p) पहले से ज्ञात नहीं होता, तो p = 0.5 का उपयोग करने से सबसे रूढ़िवादी, सबसे बड़ा नमूना आकार अनुमान मिलता है, क्योंकि p(1-p) का अधिकतम मान p = 0.5 पर होता है; यदि पूर्व शोध या एक पायलट अध्ययन से p का अधिक विशिष्ट अनुमान उपलब्ध हो, तो उसका उपयोग करने से आवश्यक नमूना आकार कम हो सकता है जब वास्तविक अनुपात के 50% से बहुत दूर होने की उम्मीद हो। American Association for Public Opinion Research जैसे संगठन नई अध्ययन डिज़ाइन करने वाले शोधकर्ताओं के लिए सर्वे नमूना आकार योजना और पद्धति रिपोर्टिंग पर विस्तृत मार्गदर्शन प्रकाशित करते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
95% विश्वास अंतराल का वास्तव में क्या मतलब है?
95% विश्वास अंतराल का मतलब है कि यदि समान सैंपलिंग और गणना प्रक्रिया को कई बार दोहराया जाए, तो परिणामी अंतरालों में से लगभग 95% में वास्तविक जनसंख्या मूल्य शामिल होगा। इसका मतलब यह नहीं है कि वास्तविक मूल्य के इस एक विशिष्ट, पहले से गणना किए जा चुके अंतराल के भीतर होने की 95% संभावना है। यह अंतर, जिसे होकस्ट्रा और सहयोगियों (2014) ने Psychonomic Bulletin and Review में एक व्यापक गलतफहमी के रूप में दस्तावेज किया, शोध और सार्वजनिक संचार दोनों में विश्वास अंतरालों की सबसे आम गलत व्याख्याओं में से एक है।
95% विश्वास स्तर के लिए मुझे कितने लोगों का सर्वे करने की आवश्यकता है?
95% विश्वास स्तर (z = 1.96), 5% त्रुटि की सीमा, और अधिकतम परिवर्तनशीलता (p = 0.5) के साथ कोक्रन फॉर्मूला का उपयोग करते हुए, एक बड़ी या प्रभावी रूप से अनंत जनसंख्या के लिए आवश्यक नमूना आकार लगभग 385 उत्तरदाता है। यदि एक छोटी, ज्ञात जनसंख्या से सैंपलिंग की जा रही है, तो एक फाइनाइट पॉपुलेशन करेक्शन इस आंकड़े को कम कर देता है; उदाहरण के लिए, 2,000 की जनसंख्या को समान विश्वास स्तर और त्रुटि की सीमा हासिल करने के लिए लगभग 323 उत्तरदाताओं की आवश्यकता होती है।
क्या नमूना आकार को दोगुना करने से त्रुटि की सीमा आधी हो जाती है?
नहीं। क्योंकि त्रुटि की सीमा के फॉर्मूले, z x sqrt[p(1-p)/n], में नमूना आकार एक वर्गमूल के नीचे आता है, त्रुटि की सीमा को आधा करने के लिए नमूना आकार को दोगुना करने के बजाय लगभग चार गुना करने की आवश्यकता होती है। यह घटते प्रतिफल (डिमिनिशिंग-रिटर्न्स) वाला संबंध बताता है कि एक बार जब किसी अध्ययन के पास पहले से ही एक उचित रूप से बड़ा सैंपल हो, तो सटीकता में अपेक्षाकृत छोटे सुधार हासिल करने के लिए नमूना आकार में बहुत बड़ी वृद्धि की आवश्यकता होती है।
कोक्रन फॉर्मूला किसके लिए उपयोग किया जाता है?
विलियम कोक्रन की पुस्तक Sampling Techniques से लिया गया कोक्रन फॉर्मूला, किसी जनसंख्या अनुपात का अनुमान लगाते समय एक वांछित विश्वास स्तर और त्रुटि की सीमा हासिल करने के लिए आवश्यक न्यूनतम नमूना आकार का अनुमान लगाता है। इसकी गणना n0 = (z^2 x p(1-p)) / e^2 के रूप में की जाती है, और इसका व्यापक रूप से सर्वे शोध, मार्केट रिसर्च और पब्लिक हेल्थ अध्ययनों में यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है कि डेटा संग्रह शुरू होने से पहले कितने उत्तरदाताओं या प्रतिभागियों की आवश्यकता है।
क्या एक संकरा विश्वास अंतराल इसका मतलब है कि एक परिणाम अधिक महत्वपूर्ण है?
जरूरी नहीं। एक संकरा विश्वास अंतराल अधिक सांख्यिकीय सटीकता को दर्शाता है, जो अक्सर एक बड़े नमूना आकार के माध्यम से हासिल होती है, लेकिन सटीकता व्यावहारिक महत्व के समान नहीं है। एक बहुत बड़ा अध्ययन एक ऐसे प्रभाव के आसपास एक संकरा, सांख्यिकीय रूप से सटीक विश्वास अंतराल दे सकता है जो व्यावहारिक रूप से सार्थक होने के लिए बहुत छोटा है, जबकि एक छोटा अध्ययन एक ऐसे प्रभाव के आसपास एक व्यापक अंतराल दे सकता है जो बड़ा और व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण है। एक विश्वास अंतराल की व्याख्या करने के लिए उसकी चौड़ाई और उस अनुमान के आकार दोनों पर विचार करने की आवश्यकता होती है जिसे वह घेरता है।
संदर्भ
- Cochran WG. Sampling Techniques. 3rd ed. Wiley, 1977.
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.
- Kalton G. Introduction to Survey Sampling. Sage Publications, 1983.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. 9th ed. W.H. Freeman, 2017.
- American Association for Public Opinion Research. "Best Practices for Survey Research." AAPOR.org.