अपने काई-वर्ग परिणाम को समझना
नीचे दी गई तालिका सामान्य स्वतंत्रता की कोटियों के लिए पारंपरिक α = 0.05 सार्थकता स्तर पर मानक काई-वर्ग क्रांतिक मान सूचीबद्ध करती है। सूचीबद्ध मान से अधिक देखी गई χ² सांख्यिकी प्रत्याशित बंटन से सांख्यिकीय रूप से सार्थक विचलन दर्शाती है।
| स्वतंत्रता की कोटियाँ (df) | α = 0.05 पर क्रांतिक χ² |
|---|---|
| 1 | 3.841 |
| 2 | 5.991 |
| 3 | 7.815 |
| 4 | 9.488 |
| 5 | 11.070 |
| 6 | 12.592 |
| 8 | 15.507 |
| 10 | 18.307 |
- एक व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला अंगूठे का नियम (मानक सांख्यिकी पाठ्यपुस्तकों में मिलता है) यह है कि काई-वर्ग सन्निकटन तब विश्वसनीय है जब हर प्रत्याशित गिनती कम से कम 5 हो; छोटी प्रत्याशित गिनतियों के साथ, एक सटीक परीक्षण अधिक उपयुक्त है।
- यह कैलकुलेटर केवल गुडनेस-ऑफ-फिट करता है — एक एकल श्रेणीबद्ध चर की एक परिकल्पित बंटन से तुलना — दो श्रेणीबद्ध चरों के बीच काई-वर्ग स्वतंत्रता परीक्षण नहीं, जो एक भिन्न (पंक्ति-दर-स्तंभ) प्रत्याशित-गिनती गणना का उपयोग करता है।
- देखी गई और प्रत्याशित सूचियों की लंबाई समान होनी चाहिए, कम से कम 2 श्रेणियों के साथ और हर प्रत्याशित गिनती सख्ती से धनात्मक।
- एक सांख्यिकीय रूप से सार्थक परिणाम दर्शाता है कि श्रेणियाँ परिकल्पित अनुपातों से भिन्न हैं; यह अपने आप में यह नहीं बताता कि कौन-सी श्रेणी, या व्यावहारिक अंतर कितना बड़ा है।
काई-वर्ग गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण क्या है?
काई-वर्ग गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण श्रेणियों के एक सेट में देखी गई गिनतियों की तुलना उन गिनतियों से करता है जो एक परिकल्पित बंटन के तहत प्रत्याशित होतीं, और मापता है कि वे कितनी भिन्न हैं। यह कैलकुलेटर केवल गुडनेस-ऑफ-फिट संस्करण करता है — एक एकल श्रेणीबद्ध चर की प्रत्याशित अनुपातों से तुलना — और संबंधित काई-वर्ग स्वतंत्रता परीक्षण नहीं, जो एक आकस्मिकता तालिका में दो श्रेणीबद्ध चरों के बीच संबंध की जाँच करता है।
परीक्षण सांख्यिकी सभी श्रेणियों में हर देखी गई और प्रत्याशित गिनती के बीच वर्गित, स्केल किए गए अंतर को जोड़ती है: प्रत्याशित गिनतियों के सापेक्ष बड़े अंतर बड़ा χ² मान और परिकल्पित बंटन के विरुद्ध मजबूत प्रमाण देते हैं।
क्योंकि χ² हमेशा शून्य या धनात्मक होता है, यह परीक्षण स्वाभाविक रूप से एक-दिशीय है: केवल असामान्य रूप से बड़े χ² मान (उपयुक्त स्वतंत्रता की कोटियों वाले काई-वर्ग बंटन के सापेक्ष) खराब फिट के प्रमाण माने जाते हैं — इसके विरुद्ध परीक्षण करने के लिए किसी 'ऋणात्मक' दिशा का कोई समतुल्य नहीं है।
इस काई-वर्ग परीक्षण कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- हर श्रेणी की देखी गई गिनतियाँ ; से अलग सूची के रूप में दर्ज करें, उदाहरण के लिए 30; 25; 22; 23।
- उन्हीं श्रेणियों की प्रत्याशित गिनतियाँ, उसी क्रम में, ; से अलग सूची के रूप में दर्ज करें, उदाहरण के लिए 25; 25; 25; 25।
- सुनिश्चित करें कि दोनों सूचियों की लंबाई समान है (कम से कम 2 श्रेणियाँ) और हर प्रत्याशित गिनती शून्य से अधिक है।
- χ² सांख्यिकी, स्वतंत्रता की कोटियाँ (श्रेणियों की संख्या घटा 1), और p-मान पढ़ें, और p-मान की तुलना अपनी चुनी हुई सार्थकता सीमा (आमतौर पर α = 0.05) से करें।
काई-वर्ग गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण के पीछे का फॉर्मूला
काई-वर्ग सांख्यिकी χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ है, सभी k श्रेणियों पर जोड़ी गई, जहाँ Oᵢ श्रेणी i में देखी गई गिनती है और Eᵢ प्रत्याशित गिनती है। स्वतंत्रता की कोटियाँ k − 1 के बराबर हैं, श्रेणियों की संख्या से एक कम।
p-मान यह प्रायिकता है कि, यदि परिकल्पित (प्रत्याशित) बंटन सत्य होता, तो दी गई स्वतंत्रता की कोटियों वाले काई-वर्ग बंटन के तहत गणना किए गए मान जितना या उससे बड़ा χ² सांख्यिकी देखा जाता।
उदाहरण: देखी गई गिनतियाँ 30, 25, 22, 23 प्रत्येक 25 की प्रत्याशित गिनतियों के विरुद्ध। χ² = (30−25)²/25 + (25−25)²/25 + (22−25)²/25 + (23−25)²/25 = 1 + 0 + 0.36 + 0.16 = 1.52, df = 4 − 1 = 3 के साथ। यह 3 स्वतंत्रता की कोटियों पर α = 0.05 के लिए 7.815 के क्रांतिक मान से काफी नीचे है, इसलिए परिणाम सांख्यिकीय रूप से सार्थक नहीं है।
सामान्य गलतियाँ
- इस गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण का उपयोग तब करना जब वास्तविक प्रश्न दो श्रेणीबद्ध चरों और उनके संबंध से जुड़ा हो — इसके लिए प्रत्याशित गिनतियों की एक आकस्मिकता तालिका वाला काई-वर्ग स्वतंत्रता परीक्षण चाहिए, न कि एक एकल देखी-गई-बनाम-प्रत्याशित सूची।
- प्रत्याशित-गिनती दिशानिर्देश का उल्लंघन करना: जब प्रत्याशित गिनतियाँ छोटी हों (आमतौर पर एक या अधिक श्रेणियों में 5 से नीचे), काई-वर्ग सन्निकटन अविश्वसनीय हो जाता है और एक सटीक परीक्षण अधिक उपयुक्त है।
- भिन्न लंबाई की देखी गई और प्रत्याशित सूचियाँ दर्ज करना, या हर सूची में श्रेणियों को अलग क्रम में सूचीबद्ध करना, जो तुलना को गलत संरेखित कर देता है।
- शून्य की प्रत्याशित गिनती दर्ज करना, जो उस श्रेणी के लिए (O − E)² / E पद को अपरिभाषित बना देता है।
- सांख्यिकीय रूप से सार्थक χ² को एक बड़े या महत्वपूर्ण अंतर के प्रमाण के रूप में मानना — सार्थकता दर्शाती है कि विचलन के संयोग से होने की संभावना कम है, यह नहीं कि यह व्यावहारिक रूप से बड़ा है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
काई-वर्ग गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण किसलिए उपयोग होता है?
यह परीक्षण करता है कि क्या श्रेणियों के एक सेट में देखी गई गिनतियाँ एक परिकल्पित बंटन की प्रत्याशित गिनतियों से मेल खाती हैं — उदाहरण के लिए, यह जाँचना कि क्या पासे की देखी गई फेंक आवृत्तियाँ प्रत्याशित समान बंटन से मेल खाती हैं, या क्या सर्वेक्षण प्रतिक्रियाएँ एक मानी गई अनुपात से मेल खाती हैं।
काई-वर्ग सांख्यिकी की गणना कैसे की जाती है?
χ² = Σ (देखा गया − प्रत्याशित)² / प्रत्याशित, हर श्रेणी में जोड़ा गया। देखी गई और प्रत्याशित गिनतियों के बीच बड़ी विसंगतियाँ, विशेष रूप से प्रत्याशित गिनती के सापेक्ष, बड़ा χ² मान देती हैं।
गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण में स्वतंत्रता की कोटियाँ क्या हैं?
स्वतंत्रता की कोटियाँ श्रेणियों की संख्या घटा 1 (df = k − 1) के बराबर हैं। इस पृष्ठ के उदाहरण की तरह 4 श्रेणियों के लिए, df = 3।
प्रत्याशित गिनतियाँ कम से कम 5 क्यों होनी चाहिए?
काई-वर्ग परीक्षण सांख्यिकी का बंटन काई-वर्ग बंटन द्वारा तभी अच्छी तरह सन्निकटित होता है जब प्रत्याशित गिनतियाँ बहुत छोटी न हों। एक सामान्यतः उद्धृत अंगूठे का नियम हर प्रत्याशित गिनती को कम से कम 5 होने की माँग करता है; उससे नीचे, काई-वर्ग सन्निकटन से मिला p-मान अशुद्ध हो सकता है और एक सटीक परीक्षण को प्राथमिकता दी जाती है।
क्या यह काई-वर्ग स्वतंत्रता परीक्षण के समान है?
नहीं। यह कैलकुलेटर गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण करता है, जो एक श्रेणीबद्ध चर की देखी गई गिनतियों की एक परिकल्पित बंटन से तुलना करता है। स्वतंत्रता परीक्षण यह जाँचता है कि क्या दो श्रेणीबद्ध चर संबद्ध हैं, एक आकस्मिकता तालिका का उपयोग करते हुए जहाँ प्रत्याशित गिनतियाँ पंक्ति और स्तंभ योगों से गणना की जाती हैं — एक भिन्न गणना।
संदर्भ
- Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5, 1900; 50(302): 157-175.
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- Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. Iowa State University Press (chi-square goodness-of-fit test).
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