अपने सहसंबंध परिणाम को समझना
नीचे दी गई तालिका |r| की शक्ति की व्याख्या के लिए एक सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला वर्णनात्मक पैमाना दिखाती है। ये श्रेणियाँ एक परंपरा हैं, सांख्यिकीय परीक्षण नहीं, और अलग-अलग क्षेत्र कभी-कभी अलग सीमाएँ उपयोग करते हैं।
| |r| सीमा | रैखिक संबंध की शक्ति |
|---|---|
| 0.00 – 0.19 | बहुत कमजोर |
| 0.20 – 0.39 | कमजोर |
| 0.40 – 0.59 | मध्यम |
| 0.60 – 0.79 | मजबूत |
| 0.80 – 1.00 | बहुत मजबूत |
- Pearson का r विशेष रूप से रैखिक संबंध मापता है। दो चरों में एक मजबूत, स्पष्ट रूप से पैटर्न वाला अरैखिक संबंध हो सकता है (उदाहरण के लिए, एक U-आकार का वक्र) फिर भी r 0 के करीब आ सकता है, क्योंकि r वक्रता का पता नहीं लगा सकता।
- सहसंबंध कार्य-कारण को इंगित नहीं करता: उच्च सहसंबंध एक चर के दूसरे का कारण होने से, दोनों को प्रभावित करने वाले किसी तीसरे भ्रामक चर से, उलटे कार्य-कारण से, या डेटा में संयोग से उत्पन्न हो सकता है।
- क्योंकि r की गणना वर्गित विचलनों से होती है, यह असामान्य मानों (आउटलायर) के प्रति संवेदनशील है — एक भी चरम डेटा बिंदु सहसंबंध गुणांक को काफी बढ़ा या घटा सकता है।
- Pearson का r मानता है कि अंतर्निहित संबंध लगभग रैखिक है और डेटा एक अंतराल या अनुपात पैमाने पर मापा गया है; एकदिष्ट लेकिन अरैखिक संबंधों के लिए, Spearman सहसंबंध जैसा रैंक-आधारित माप अक्सर अधिक उपयुक्त होता है।
Pearson सहसंबंध गुणांक क्या है?
Pearson सहसंबंध गुणांक (r) दो युग्मित संख्यात्मक चरों के बीच रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा मापता है। यह −1 से +1 तक होता है: +1 के निकट मान एक मजबूत धनात्मक रैखिक संबंध दर्शाते हैं (x बढ़ने पर y भी बढ़ता है), −1 के निकट मान एक मजबूत ऋणात्मक रैखिक संबंध दर्शाते हैं (x बढ़ने पर y घटता है), और 0 के निकट मान बहुत कम या कोई रैखिक संबंध नहीं दर्शाते।
यह कैलकुलेटर R² भी रिपोर्ट करता है, निर्धारण गुणांक, जो r² के बराबर है और y में उस प्रसरण के अनुपात को दर्शाता है जो x के साथ रैखिक संबंध से सांख्यिकीय रूप से स्पष्ट होता है। यह लीस्ट-स्क्वेयर्स रिग्रेशन रेखा भी फिट करता है, वह सीधी रेखा जो रेखा और डेटा बिंदुओं के बीच वर्गित ऊर्ध्वाधर दूरियों के योग को न्यूनतम करती है।
दो चरों के बीच मजबूत सहसंबंध यह स्थापित नहीं करता कि एक दूसरे का कारण है। सहसंबंध विशुद्ध रूप से एक सांख्यिकीय संबंध है; कार्य-कारण स्थापित करने के लिए अतिरिक्त प्रमाण चाहिए, जैसे एक नियंत्रित प्रयोग या एक सुडिज़ाइन किया गया अध्ययन जो भ्रामक चरों और उलटे कार्य-कारण को खारिज करता है।
इस सहसंबंध कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- x मान ; से अलग सूची के रूप में दर्ज करें, उदाहरण के लिए 1; 2; 3; 4।
- संबंधित y मान उसी क्रम में और x मानों के समान लंबाई की ; से अलग सूची के रूप में दर्ज करें, उदाहरण के लिए 2; 4; 6; 8।
- कम से कम 3 युग्मित डेटा बिंदु दें — इससे कम पर सहसंबंध गुणांक सार्थक नहीं है।
- सहसंबंध गुणांक (r), R², रिग्रेशन रेखा की ढलान और प्रतिच्छेद, और स्वयं रिग्रेशन रेखा समीकरण पढ़ें।
Pearson सहसंबंध और रैखिक रिग्रेशन के पीछे का फॉर्मूला
Pearson का r हर चर के अपने माध्य से विचलन के गुणनफलों का योग है, जो वर्गित विचलनों के योग के गुणनफल के वर्गमूल से भाग दिया जाता है: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √[Σ(xᵢ − x̄)² × Σ(yᵢ − ȳ)²]।
लीस्ट-स्क्वेयर्स रिग्रेशन रेखा, ŷ = ढलान × x + प्रतिच्छेद, ढलान = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² और प्रतिच्छेद = ȳ − ढलान × x̄ का उपयोग करती है, जो रेखा और हर डेटा बिंदु के बीच वर्गित ऊर्ध्वाधर दूरियों के योग को न्यूनतम करने के लिए चुनी जाती है।
उदाहरण: x = 1, 2, 3, 4 और y = 2, 4, 6, 8 — मूल बिंदु से गुजरती हुई 2 ढलान वाली एक पूर्ण सीधी रेखा। यह r = 1 (पूर्ण धनात्मक रैखिक सहसंबंध), R² = 1, ढलान = 2, प्रतिच्छेद = 0, और रिग्रेशन रेखा ŷ = 2x देता है।
सामान्य गलतियाँ
- सहसंबंध को कार्य-कारण के रूप में व्याख्या करना — दो चरों के बीच मजबूत सहसंबंध यह स्थापित नहीं करता कि एक दूसरे का कारण है; एक तीसरा भ्रामक चर, उलटा कार्य-कारण, या संयोग समान सांख्यिकीय पैटर्न उत्पन्न कर सकता है।
- यह मान लेना कि Pearson का r दो चरों के बीच किसी भी संबंध को पकड़ लेता है, जबकि यह केवल रैखिक संबंध मापता है — एक मजबूत घुमावदार (अरैखिक) संबंध r को 0 के निकट दे सकता है।
- आउटलायर के प्रभाव को नज़रअंदाज़ करना, जो r को काफी बढ़ा या घटा सकता है क्योंकि गणना वर्गित विचलनों पर आधारित है।
- r को रिग्रेशन ढलान से भ्रमित करना — r रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा का −1 और +1 के बीच एक इकाई-रहित माप है, जबकि ढलान y की प्रति इकाई x की इकाइयाँ रखता है और डेटा के पैमाने पर निर्भर करता है।
- देखे गए x मानों की सीमा से बाहर रिग्रेशन रेखा को एक्सट्रापोलेट करना, जहाँ डेटा से अनुमानित रैखिक संबंध अब लागू नहीं हो सकता।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
1 के सहसंबंध गुणांक का क्या मतलब है?
r = 1 का Pearson सहसंबंध गुणांक मतलब दोनों चरों में एक पूर्ण धनात्मक रैखिक संबंध है: हर डेटा बिंदु ठीक एक धनात्मक ढलान वाली सीधी रेखा पर आता है, और x बढ़ने पर y आनुपातिक रूप से बढ़ता है।
क्या सहसंबंध का मतलब कार्य-कारण है?
नहीं। सहसंबंध दो चरों के बीच एक सांख्यिकीय संबंध मापता है, कारण-और-प्रभाव संबंध नहीं। उच्च सहसंबंध एक चर के दूसरे का कारण होने से, दोनों को प्रभावित करने वाले किसी तीसरे भ्रामक कारक से, उलटे कार्य-कारण से, या केवल संयोग से उत्पन्न हो सकता है — कार्य-कारण स्थापित करने के लिए सहसंबंध से परे अतिरिक्त प्रमाण चाहिए।
R² (निर्धारण गुणांक) क्या है?
R², Pearson सहसंबंध गुणांक के वर्ग (r²) के बराबर है और y चर में उस प्रसरण के अनुपात को दर्शाता है जो x के साथ इसके रैखिक संबंध से सांख्यिकीय रूप से स्पष्ट होता है। 0.81 का R² (r = 0.9 से) मतलब y में 81% प्रसरण x के साथ रैखिक संबंध से जुड़ा है।
क्या दो चर मजबूती से संबंधित हो सकते हैं लेकिन कम सहसंबंध गुणांक रखते हैं?
हाँ। Pearson का r केवल रैखिक संबंध मापता है। दो चर एक घुमावदार (अरैखिक) पैटर्न — जैसे U-आकार या एक्सपोनेंशियल वक्र — के माध्यम से मजबूती से, पूर्वानुमेय रूप से संबंधित हो सकते हैं फिर भी r 0 के करीब दे सकते हैं, क्योंकि r उस तरह के संबंध को पकड़ नहीं सकता।
रिग्रेशन रेखा की गणना कैसे की जाती है?
लीस्ट-स्क्वेयर्स रिग्रेशन रेखा रेखा और हर डेटा बिंदु के बीच वर्गित ऊर्ध्वाधर दूरियों के योग को न्यूनतम करती है। इसकी ढलान Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² के बराबर है, और इसका प्रतिच्छेद y के माध्य में से ढलान गुणा x के माध्य को घटाकर मिलता है।
सार्थक सहसंबंध के लिए मुझे कितने डेटा बिंदु चाहिए?
यह कैलकुलेटर परिणाम की गणना के लिए कम से कम 3 युग्मित डेटा बिंदु माँगता है, लेकिन बहुत छोटे नमूनों से मिले सहसंबंध गुणांक व्यक्तिगत डेटा बिंदुओं के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं और भ्रामक हो सकते हैं; बड़े नमूने वास्तविक अंतर्निहित संबंध के अधिक स्थिर और विश्वसनीय अनुमान देते हैं।
संदर्भ
- Pearson K. Note on regression and inheritance in the case of two parents. Proceedings of the Royal Society of London 1895; 58: 240-242.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — correlation and linear regression. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (correlation, least-squares regression).
- Evans JD. Straightforward Statistics for the Behavioral Sciences. Brooks/Cole, 1996 (descriptive strength bands for |r|).
- Chatterjee S, Hadi AS. Regression Analysis by Example. Wiley (least-squares regression and its assumptions).