आपको कौन सा माध्य उपयोग करना चाहिए?
हर माध्य एक अलग सवाल का जवाब देता है। नीचे दी गई तालिका बताती है कि हर एक कब उपयुक्त सारांश है।
| माध्य | उपयोग करें जब मूल्य इससे मिलते हों | सामान्य उपयोग |
|---|---|---|
| अंकगणितीय | जोड़ | टेस्ट स्कोर, ऊंचाई, तापमान, सामान्य औसत |
| ज्यामितीय | गुणा | वृद्धि दरें, निवेश रिटर्न, अनुपात, इंडेक्स संख्याएं |
| हरात्मक | व्युत्क्रम (दरें) | बराबर दूरियों पर औसत गति, प्राइस-अर्निंग अनुपात, समानांतर प्रतिरोध |
- ज्यामितीय और हरात्मक माध्य केवल पूरी तरह धनात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित हैं। जब सूची में शून्य या ऋणात्मक संख्याएं हों तो यह कैलकुलेटर इन्हें छोड़ देता है।
- पूरी तरह धनात्मक किसी भी डेटा सेट के लिए, अंकगणितीय माध्य >= ज्यामितीय माध्य >= हरात्मक माध्य, और बराबरी तभी होती है जब सभी मूल्य समान हों (AM-GM-HM असमानता)।
- प्रतिशत वृद्धि दरों का अंकगणितीय माध्य से औसत निकालना संचयी वृद्धि को बढ़ा-चढ़ाकर दिखाता है; वृद्धि गुणकों का ज्यामितीय माध्य सही समतुल्य स्थिर दर देता है।
अंकगणितीय, ज्यामितीय और हरात्मक माध्य क्या हैं?
अंकगणितीय माध्य मूल्यों के योग को उनकी गिनती से भाग देने पर मिलता है। यह उन मात्राओं के लिए उपयुक्त औसत है जो जोड़ से मिलती हैं, जैसे ऊंचाई, टेस्ट स्कोर या तापमान, और ज़्यादातर लोगों का 'औसत' से यही मतलब होता है।
ज्यामितीय माध्य n धनात्मक मूल्यों के गुणनफल का n-वां मूल है। यह उन मात्राओं के लिए उपयुक्त औसत है जो गुणा से मिलती हैं, जैसे वृद्धि दरें और अनुपात: वार्षिक वृद्धि गुणकों का ज्यामितीय माध्य वह स्थिर दर देता है जो वही समग्र वृद्धि पैदा करती। यह केवल पूरी तरह धनात्मक डेटा के लिए परिभाषित है, क्योंकि शून्य गुणनफल को शून्य कर देता है और ऋणात्मक मूल्य मूल को गैर-वास्तविक बना सकते हैं।
हरात्मक माध्य गिनती को मूल्यों के व्युत्क्रमों के योग से भाग देने पर मिलता है। यह स्थिर अंश वाली दरों के लिए उपयुक्त औसत है, इसका क्लासिक उदाहरण बराबर दूरियों पर औसत गति है। ज्यामितीय माध्य की तरह, इसके लिए भी सभी मूल्यों का धनात्मक होना ज़रूरी है। पूरी तरह धनात्मक किसी भी डेटा सेट के लिए, तीनों माध्य इस असमानता का पालन करते हैं: अंकगणितीय >= ज्यामितीय >= हरात्मक, और बराबरी तभी होती है जब सभी मूल्य एक जैसे हों।
इस माध्य कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- अपनी संख्याएं ; से अलग करके दर्ज करें, उदाहरण के लिए: 4; 8; 15; 16; 23; 42।
- अंकगणितीय माध्य पढ़ें, जो हमेशा दिखाया जाता है।
- अगर हर मूल्य धनात्मक है, तो ज्यामितीय और हरात्मक माध्य भी पढ़ें; जब सूची में शून्य या ऋणात्मक मूल्य हों तो ये परिभाषित नहीं होते, इसलिए उस स्थिति में इन्हें छोड़ दिया जाता है।
- अपनी समस्या के अनुसार माध्य चुनें: योगात्मक मात्राओं के लिए अंकगणितीय, वृद्धि दरों और अनुपातों के लिए ज्यामितीय, बराबर दूरियों पर गति जैसी दरों के लिए हरात्मक।
तीनों माध्यों के फॉर्मूले
अंकगणितीय माध्य: n मूल्यों को जोड़ें और n से भाग दें। ज्यामितीय माध्य: n मूल्यों को गुणा करें और n-वां मूल लें (व्यवहार में लघुगणकों के माध्य के घातांक के रूप में गणना की जाती है)। हरात्मक माध्य: n को व्युत्क्रमों के योग से भाग दें।
मूल्यों 1, 4, 16 के साथ उदाहरण। अंकगणितीय: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7। ज्यामितीय: गुणनफल 1 x 4 x 16 = 64 है, और 64 का घनमूल 4 है। हरात्मक: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, लगभग 2.285714। ध्यान दें कि 7 >= 4 >= 2.285714, जो अंकगणितीय-ज्यामितीय-हरात्मक असमानता दर्शाता है।
हरात्मक माध्य के लिए गति का उदाहरण: वही दूरी पहले 30 किमी/घं और फिर 60 किमी/घं पर तय करने पर औसत गति 2 / (1/30 + 1/60) = 40 किमी/घं मिलती है, न कि अंकगणितीय माध्य 45 किमी/घं, क्योंकि धीमी गति पर ज़्यादा समय लगता है।
आम गलतियां
- वृद्धि दरों के लिए अंकगणितीय माध्य का उपयोग करना: +50% वाला साल और उसके बाद -50% वाला साल अंकगणितीय रूप से 0% औसत देता है, फिर भी निवेश समग्र रूप से 25% नीचे है; गुणकों 1.5 और 0.5 का ज्यामितीय माध्य (लगभग 0.866) सही औसत बदलाव दर्शाता है।
- बराबर दूरियों पर गति का अंकगणितीय माध्य से औसत निकालना — बराबर-दूरी वाले हिस्सों के लिए हरात्मक माध्य चाहिए।
- ज्यामितीय या हरात्मक माध्य को शून्य या ऋणात्मक मूल्यों वाले डेटा पर लागू करना, जहां वे अपरिभाषित होते हैं।
- यह उम्मीद करना कि तीनों माध्य मेल खाएंगे — ये तभी मेल खाते हैं जब सूची का हर मूल्य एक जैसा हो।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अंकगणितीय और ज्यामितीय माध्य में क्या फर्क है?
अंकगणितीय माध्य मूल्यों को जोड़कर गिनती से भाग देता है; ज्यामितीय माध्य मूल्यों को गुणा करके n-वां मूल लेता है। अंकगणितीय माध्य उन मात्राओं के लिए उपयुक्त है जो जोड़ से मिलती हैं, जबकि ज्यामितीय माध्य उन मात्राओं के लिए उपयुक्त है जो गुणा से मिलती हैं, जैसे वृद्धि गुणक। मूल्यों 1, 4 और 16 के लिए, अंकगणितीय माध्य 7 है और ज्यामितीय माध्य 4 है।
हरात्मक माध्य का उपयोग कब करना चाहिए?
जब अंश स्थिर हो तो दरों का औसत निकालने के लिए हरात्मक माध्य का उपयोग करें — इसका क्लासिक उदाहरण बराबर दूरियों पर औसत गति है। वही दूरी 30 किमी/घं और 60 किमी/घं पर तय करने पर औसत 2 / (1/30 + 1/60) = 40 किमी/घं आता है, 45 किमी/घं नहीं, क्योंकि धीमी गति पर ज़्यादा समय लगता है। हरात्मक माध्य प्राइस-अर्निंग अनुपातों का औसत निकालने और समानांतर विद्युत प्रतिरोधों को जोड़ने में भी दिखता है।
यह कैलकुलेटर कभी-कभी सिर्फ अंकगणितीय माध्य क्यों दिखाता है?
ज्यामितीय और हरात्मक माध्य केवल तभी परिभाषित हैं जब सूची का हर मूल्य धनात्मक हो। शून्य होने पर ज्यामितीय माध्य शून्य हो जाता है और हरात्मक माध्य अपरिभाषित (शून्य से भाग) हो जाता है, और ऋणात्मक मूल्य गुणनफल के n-वें मूल को गैर-वास्तविक बना सकते हैं। जब सूची में शून्य या ऋणात्मक मूल्य हों, तो केवल अंकगणितीय माध्य बताया जाता है।
निवेश रिटर्न के लिए ज्यामितीय माध्य सही क्यों है?
निवेश रिटर्न गुणात्मक रूप से चक्रवृद्धि होते हैं। अगर कोई पोर्टफोलियो लगातार वर्षों में 1.5 (50% ऊपर) और 0.5 (50% नीचे) के गुणकों से बढ़ता है, तो समग्र गुणक 1.5 x 0.5 = 0.75 होता है। गुणकों का ज्यामितीय माध्य, sqrt(0.75), लगभग 0.866, वह स्थिर वार्षिक गुणक है जो वही नतीजा देता है — यानी प्रति वर्ष लगभग 13.4% का औसत नुकसान, जिसे 0% का अंकगणितीय माध्य पूरी तरह चूक जाता है।
क्या अंकगणितीय माध्य हमेशा तीनों में सबसे बड़ा होता है?
धनात्मक संख्याओं के डेटा सेट के लिए, हां: अंकगणितीय माध्य ज्यामितीय माध्य से बड़ा या बराबर होता है, जो हरात्मक माध्य से बड़ा या बराबर होता है। बराबरी तभी होती है जब सभी मूल्य एक जैसे हों। यह AM-GM-HM असमानता है, जो क्लासिकल बीजगणित का एक मानक परिणाम है।
संदर्भ
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).